Теоретический минимум по математическому анализу за 1 семестр

1. Аксиома непрерывности в множестве вещественных чисел, точные грани числовых множеств.

2. Принцип вложенных отрезков.

Определение:

Пусть дана система отрезков: [math] a_n \le b_n, \Delta_n = [a_n, b_n] [/math] [math] \forall n \in \mathbb N: \Delta_{n+1} \subset \Delta_n [/math] Тогда эта система отрезков называется вложенной.

3. Определение предела последовательности.

Определение:

Число [math] a \in \mathbb R [/math] называется пределом последовательности [math] a_n [/math], если: [math] \forall \varepsilon \gt 0, \exists n_0 \in \mathbb N: \forall n \gt n_0: |a_n - a| \lt \varepsilon [/math] Записывают: [math] a = \lim\limits_{n \rightarrow \infty} a_n [/math]

4. Теорема Вейерштрасса о монотонных последовательностях.

Теорема (Вейерштрасс):

Пусть [math] a_n \uparrow [/math] и [math] a_n [/math] ограничена сверху. Тогда она сходится. (Аналогично, если [math] a_n \downarrow [/math], [math] a_n [/math] — ограничена снизу).

5. Число е.

[math] \exists \lim\limits_{n \rightarrow \infty} (1 + \frac 1n)^n [/math]. Его обозначают числом [math] e [/math].

6. Теорема Больцано-Вейерштрасса.

Теорема (Больцано):

Из любой ограниченной последовательности можно выделить сходящуюся подпоследовательность

7. Теорема Коши о сходящихся в себе последовательностях.

Теорема (Коши):

Если числовая последовательность сходится в себе, то она сходится.

8. Определение МП, открытые и замкнутые множества в МП.

Если на [math]X[/math] определена метрика, то пара [math](X, \rho)[/math] называется метрическим пространством, аббревиатура — МП.

Определение:

Пусть [math] (X, \rho) [/math] — метрическое пространство, пусть [math]\ \ r \in \mathbb{R},\ r \gt 0,\ a \in X [/math], тогда открытый шар радиуса [math]\ r\ [/math] в точке [math]\ a\ [/math] — это множество [math] V_r(a) = \{x \in X| \rho(x, a) \lt r \} [/math]

Определение:

Множество [math] G \subset X [/math] называется открытым в метрическом пространстве, если его можно записать как некоторое объединение открытых шаров (в общем случае объединение может состоять из несчетного числа шаров). [math] \tau [/math] — класс открытых множеств. [math] \tau = \{ G [/math] — открытые в МП [math](X, \rho) \}[/math]

Определение:

Множество [math]F[/math] называется замкнутым в МП[math](X, \rho)[/math], если [math] \overline F = X \backslash F [/math] — открыто.

9. Компакты в МП, теорема Хаусдорфа.

Определение:

Множество ограниченное, если его можно поместить в шар.

Определение:

Пусть [math] (X, \rho) [/math] — МП. [math] K \in X [/math] является компактом в X, если из любой последовательности точек принадлежащих K можно выделить сходящуюся подпоследовательность [math] x_n: \lim x_n \in K [/math].

Утверждение:

Легко видеть что если K — компакт, то оно ограниченное, замкнутое. Обратное в общем случае не верно.

{{Теорема |author=Хаусдорф |statement=

Пусть [math]X[/math]

Теорема (Хаусдорф):

Пусть [math]X[/math] — полное метрическое пространство, [math]K \subset X[/math], [math]K[/math] — замкнуто. Тогда [math]K[/math] — компакт [math]\iff[/math] [math]K[/math] — вполне ограниченно.— полное метрическое пространство, [math]K \subset X[/math], [math]K[/math] — замкнуто. Тогда [math]K[/math] — компакт [math]\iff[/math] [math]K[/math] — вполне ограниченно.

10. Предел отображения в МП.

Определение:

[math] x_n \rightarrow x [/math] в МП [math](X, \rho)[/math], если: [math]\ \lim\limits_{n \rightarrow \infty} \rho(x_n, x) = 0\ [/math] , или [math]\forall \varepsilon \gt 0, \exists N \in \mathbb{N}, \forall n \gt N \Rightarrow \rho(x_n, x) \lt \varepsilon [/math] или [math]\forall \varepsilon \gt 0, \exists N \in \mathbb{N}, \forall n \gt N: x_n \in V_\varepsilon(x)[/math], где [math] V_\varepsilon(x) = \{ y: \rho(y, x) \lt \varepsilon \} [/math], то есть открытый шар радиуса [math]\ \varepsilon[/math] с центром в точке [math]\ x[/math]

11. Теорема Кантора о равномерной непрерывности.

Теорема (Кантор):

Пусть даны МП [math] (X, \rho), (Y, \rho)[/math], [math] K \subset X[/math] - компакт, [math] f: K \rightarrow Y [/math] - непрерывное отображение. Тогда [math] f [/math] также и равномерно непрерывное на [math] K [/math].

12. Теорема Вейерштрасса об экстремумах.

Теорема (Вейерштрасс):

Пусть [math] f: K \rightarrow \mathbb R [/math] — непрерывная функция на компакте [math] K [/math]. Тогда существуют такие [math] x_1, x_2 [/math], что [math] f(x_1) = \inf\limits_{K}f, f(x_2) = \sup\limits_{K}f [/math].

13. Теорема Коши о промежуточных значениях.

Теорема (Коши, о промежуточных значениях функции):

Пусть [math] f: \mathbb R \rightarrow \mathbb R [/math] — непрерывная функция на [math] [a; b], f(a) = A, f(b) = B[/math], для определенности считаем, что [math] A \lt B [/math]. Тогда [math] \forall D: A \lt D \lt B\ \exists d \in (a; b): f(d) = D [/math].

14. Определение дифференциала и производной, критерий дифференцируемости.

15. Производная сложной. 16. Теорема Ферма о значении производной в экстремальной точке. 17. Теорема Ролля о нулях производной. 18. Формула конечных приращений Лагранжа. 19. Правило Лопиталя раскрытия неопределенностей. 20. Формула Тейлора с остатком Лагранжа. 21. Интерполяционная формула Лагранжа и ее остаток. 22. Определение выпуклой функции, неравенство Иенсена. 23. Неравенство Гельдера для сумм. 24. Неравенство Минковского для сумм. 25. Теорема о выпуклом модуле непрерывности. 26. Полиномы и теорема Бернштейна. 27. Неопределенный интеграл: линейность, замена переменной интегрирования, формула интегрирования по частям. 28. Интегральные суммы Римана, необходимое условие интегрируемости. 29. Критерий интегрируемости по Риману. 30. Теорема Барроу. 31. Формула Ньютона-Лейбница. 32. Критерий сходимости несобственных интегралов. 33. Остаток формулы Тейлора в интегральной форме. 34. Определение суммы числового ряда. Необходимый признак и критерий Коши сходимости ряда. 35. Интегральный признак Коши сходимости рядов. 36. Ряды и теорема Лейбница. 37. Теорема Мертенса о произведении рядов по Коши.