Теорема о поглощении

Определение:

Матрицу [math]Q[/math] называют непоглощающей, если она не содержит поглощающих состояний. То есть [math]\forall i : q_{ii} \neq 1[/math]

Определение:

Стохастическую матрицу с [math]r[/math] поглощающими состояниями и [math]t[/math] непоглощающими, можно перевести в каноническую форму: [math]P = \begin{pmatrix} Q & R \\ 0 & I \end{pmatrix}[/math] , где [math]I[/math] — единичная матрица ([math]r \times r[/math]), [math]0[/math] — нулевая матрица ([math]r \times t[/math]), [math]R[/math] — ненулевая поглощающая матрица ([math]t \times r[/math]) и [math]Q[/math] — непоглощающая ([math]t \times t[/math]). Первые [math]t[/math] состояний переходные и последние [math]r[/math] состояний поглощающие.

Теорема (о поглощении):

Если цепь поглощающая, то с вероятностью, равной 1, она перейдет в поглощающее состояние.

Доказательство:

[math]\triangleright[/math]

Пусть [math]P[/math] — матрица переходов, где элемент [math]p_{ij}[/math] равен вероятности перехода из [math]i[/math]-го состояния в [math]j[/math]-ое. Приведем ее в каноническую форму: [math]P = \begin{pmatrix} Q & R \\ 0 & I \end{pmatrix}[/math] Пусть вектор [math]c^{(t)}[/math] — вектор вероятности нахождения на шаге [math]t[/math]. Он вычисляется, как произведение вектора на нулевом шаге на матрицу перехода в степени [math]t[/math]. [math] c^{(t)} = c^{(0)} \times P^t[/math] Рассмотрим, что представляет из себя возведение матрицы [math]P[/math] в степень: Для [math]t = 2[/math] : [math]P^{2} = \begin{pmatrix} Q & R \\ 0 & I \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} Q & R \\ 0 & I \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} Q \times Q + R \times 0 & Q \times R + R \times I \\ 0 \times Q + I \times 0 & 0 \times R + I \times I \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} Q^2 & X \\ 0 & I \end{pmatrix}[/math] . Произведение единичной матрицы на саму себя есть единичная матрица ([math]I \times I = I[/math]); [math]X[/math] — некоторые значения (не важны для доказательства теоремы, т.к. чтобы доказать теорему достаточно доказать, что непоглощающие состояния стремятся к 0). Продолжив вычисления, получим, что [math]P^n[/math] имеет следующий вид: [math]\begin{pmatrix} Q^n & X \\ 0 & I \end{pmatrix}[/math] . Докажем, что [math]Q^n \xrightarrow{} 0[/math], при [math] n\xrightarrow{}+\infty[/math]. Рассмотрим путь из [math]i[/math]-го состояния в поглощающее, равное [math]j[/math]. Пусть [math]p_{i}\lt 1[/math] — вероятность того, что через [math]m_i[/math] шагов из шага [math]i[/math] не попадет в поглощающее состояние. Пусть [math]m = \max(m_i)[/math], а [math]p = \max(p_i)\lt 1[/math] Тогда вероятность перехода в состояние [math]j[/math] на шаге [math]m[/math] равна [math]\sum_{j} {q^{m}_{ij}}[/math], где [math]q_{ij}^{m}[/math] — элемент матрицы [math]Q^{m}[/math]. В то же время, [math]\sum_{j} {q^m_{ij}}\leqslant p[/math]. Возведем обе части в степень [math]k \rightarrow \infty[/math], получим: [math]\sum_{j} {q^{mk}_{ij}}\leqslant p^k\xrightarrow{k\xrightarrow{}+\infty}0[/math] В итоге получаем, что непоглощающие состояния стремятся к [math]0[/math], а значит поглощающие в итоге приходят к [math]1[/math], т.е. цепь приходит в поглощающее состояние.

[math]\triangleleft[/math]

Литература

• Дж. Кемени, Дж. Снелл "Конечные цепи Маркова"