Неотделимые множества

Лемма:

Существует вычислимая функция, не имеющая всюду определенного вычислимого продолжения.

Доказательство:

[math]\triangleright[/math]

Рассмотрим функцию [math]f(n) = U(n, n) + 1[/math], где [math]U(n, n)[/math] - универсальная функция. Предположим, у нее существует всюду определенное продолжение [math]g(n)[/math]. Это значит, что [math]\forall n: g(n) \neq \bot [/math] и [math]f(n) \neq \bot \Rightarrow g(n) = f(n)[/math]

[math]\triangleleft[/math]