Сортирующая сеть O(log N)

Ажтаи (Ajtai), Комлос (Komlos) и Шимереди (Szemeredi) сконструировали сортирующую сеть на N входов глубины $O(\log N)$, при они не углублялись в исследование значения константы, получавшейся при правильном соблюдении необходимой ассимптотики. Впоследствии Патерсон выяснил, что $O(\log N)$ можно заменить на $c\log_2 N$ с константой приблизительно равной $6100$. Здесь будет описана более поздняя реализация, которая включает в себя меньшую константу $c$, а именно, будет доказано, что для любого целого числа $N$ такого,что $N \ge 2^{78}$ существует сортирующая сеть на $N$ входов, такая, что глубина в худшем случае будет $1830 \log_2 N - 58657$.

Основными составяющими этой конструкции будут сортирующие сети на $M$ входов, такие ,что $M$ относительно мало. Мы назовем их $M$-сортировщиками. Для любых выбранных положительных целых чисел $M$ и $N$ таких что $N \ge M$, конструкция будет включать в себя $N$ проводов, и будет сделана из $M$-сортировщиков, глубина которых в худшем случае $(48 + о(1))\log_MN + 115$ при $M \to \inf$. (Стоит отметить, что асимптотическое $o(1)$ здесь относится к $M$, а не к $N$).

Разделители

Сначала введем все необходимые понятия для построения сортирующей сети.

Определение:

Идеальным разделителем будем называть сеть, выходные провода которой разделены на K блоков одинакового размера, таких, что принимая на вход любые $a$ значений, сеть размещает первые $a/k$ минимальные по величине ключи в первый блок, следующие $a/k$ по величине ключи – во второй, и т.д.

Эти идеальные разделители могут быть использованы как модули для построения сортирующей сети на $N$ входов, где $N = k^d$ для некоторого положительного числа d. Такая сеть будет представлять собой композицию сетей $N_0, N_1, N_2 .. N_{d-1}$, где $N_t$ – парраллельная композиция $k^t$ идеальных разделителей одинакового размера.

Конструкция сети

$\alpha^*(t) = \frac{t\log \frac{1}{\nu} - \log N + \log(2A\nu k^3)}{\log A}$

$\omega^*(t) = \frac{t\log \frac{1}{\nu} + \log(A\nu k)}{\log Ak}$

$\alpha(t) \ge \alpha^*(t),\quad \alpha(t)\equiv t\; mod\; 2$

$\omega(t) \ge \omega^*(t),\quad \omega(t)\equiv t\; mod\; 2$

$O(\log N)$ $c\log_2 N$

$\pi(\alpha(t),t) = \begin{cases} 0,&\text{если $\alpha(t + 1)\gt \alpha(t)$,}\\ \frac{\nu}{AK}c(a(t),t), &\text{если $\alpha(t + 1)\gt \alpha(t)$.} \end{cases}$

$\pi(i,t) = \frac{A\nu k - 1}{A^2k^2}c(i,t),\qquad\quad \text{если $\alpha(t) \lt i \lt \omega(t)$,}$

$\pi(\omega(t),t) = \begin{cases} \frac{A\nu k - 1}{A^2k^2}c(\omega(t),t),&\text{ $\omega(t + 1)\gt \omega(t)$,}\\ \alpha(\omega(t),t),&\text{если $\omega(t + 1)\lt \omega(t)$,} \end{cases}$

$\chi(\alpha(t),t) = \begin{cases} \frac{1}{k}c(\alpha(t),t),&\text{ $\alpha(t + 1)\gt \alpha(t)$,}\\ \frac{Ak - \nu}{Ak^2}c(\alpha(t),t),&\text{если $\alpha(t + 1)\lt \alpha(t)$,} \end{cases}$

$\chi(i,t) = \frac{Ak - \nu}{Ak^2}c(i,t),\qquad\quad \text{если $\alpha(t) \lt i \lt \omega(t)$,}$

$\pi(\omega(t),t) = \begin{cases} \alpha(\omega(t + 1), t + 1)), &\text{ $\omega(t + 1)\gt \omega(t)$,}\\ 0,&\text{если $\omega(t + 1)\lt \omega(t)$,} \end{cases}$

$\pi(i, t)$

$\chi(i, t)$

$\alpha(t + 1) \lt \alpha(t)$

$c(\alpha(t), t) = (A/\nu)c(\alpha(t + 1), t + 1) \ge 2Ak^2/\nu$

лемма 3.1 Если $\alpha(i, t) \neq 0$ тогда

$\sum\limits^d_{j=0} k^{j-i}a(j, t) = \begin{cases} Nk^{-i}, &\text{ $i = \alpha(t)$,}\\ Nk^{-i} - \frac{c(i,t)}{A^2k^2}, &\text{ $i \gt \alpha(t)$,} \end{cases}$

$\sum\limits^d_{j=0} k^ja(j, t) = N$

$i = \alpha(t)$

$a(j,t) = \begin{cases} 0, &\text{ $j \not\equiv i\quad mod \quad 2$,}\\ c(j, t), &\text{ $j = \alpha(t)$,}\\ (1 - \frac{1}{A^2k^2})c(j, t) &\text{ $\alpha(t) \lt j \lt i, \quad j \equiv i \; mod \; 2$} \end{cases}$

$c(j, t) = c(i, t)A^{j-i}$ когда $i\ge\alpha(t)+2$

лемма 3.2 Если $\alpha(t + 1) \gt \alpha(t)$ тогда $\alpha(t) = 0$ или $c(\alpha(t),t)\le Ak^2/\nu$

$\alpha(t+1) \gt \alpha(t) \gt 0$

$\alpha(t) - 1 \lt \alpha^*(t + 1)$

$c(\alpha(t),t) \lt 2Ak^2/\nu$

Анализ сети

$(\frac{1}{k} + \frac{\mu\delta kA^2}{1 - \delta^2k^2A^2})c(i,t)$

$\frac{1}{k}(Nk^{-i} - c(i,t))$

$\sum\limits_{j\ge 1} k^{2j-1}\mu\delta^{2j-1}c(i+2j, t)$

$\sum\limits_{j\ge 1} (k\delta)^{2j-1}c(i+2j, t) = c(i,t)\sum\limits_{j\ge 1} (k\delta)^{2j-1}A^{2j} \lt c(i,t)\frac{\delta k A^2}{1-\delta^2k^2A^2}$

$\frac{1}{k}Nk^{-i}$

лемма 4.2

$(\mu + (k - 1)\frac{\mu\delta k A^2}{1 - \delta^2k^2A^2} + \frac{A\nu k - 2A\nu + 1}{2k^2A^2} + \varepsilon_B)c(i,t)$

$c=c(i, t), \quad a=a(i,t),\quad \pi=\pi(i,t), \quad \chi=\chi(i, t)$

$\Delta_1 = \frac{\mu\delta kA^2}{1-\delta^2k^2A^2}c$

$\Delta_2 = \frac{\nu}{1 - \delta^2k^2A^2}c$

$\Delta = \begin{cases} \Delta_1,&\text{ $i = \alpha(t) \lt \alpha(t+1)$,}\\ \Delta_2,&\text{ $i = \omega(t) \lt \omega(t+1)$,}\\ \Delta_1 + \Delta_2,&\text{если $\alpha(t) \lt i \lt \omega(t) \quad ||\quad i = \alpha(t) \gt \alpha(t + 1), t \ge 2$,} \end{cases}$

$(k - 1)\Delta - \frac{1}{2}\pi \le (k - 1)\Delta_1 + \frac{A\nu k - 2A\nu + 1}{2A^2k^2}c$

лемма 4.3

$\varepsilon^* \le \frac{\mu}{k},$

$(\mu + (k - 1)\frac{\mu\delta k A^2}{1 - \delta^2k^2A^2} + \frac{A\nu k - 2A\nu + 1}{2k^2A^2} + \varepsilon_B)\frac{1}{A\nu} + \mu\delta\frac{Ak}{\nu} \le \mu$

Лемма 4.4

$\mu \le \frac{\nu}{Ak^2},$

$\mu\le\frac{1}{2}\delta_F\frac{A\nu k - 1}{A^2k^2},$

$\varepsilon_F\frac{1}{A\nu} + \delta^2\frac{Ak}{\nu} \le \delta$