Обратная матрица

Определение:

Обратная матрица - такая матрица [math]A^{-1}[/math], при умножении на которую, исходная матрица [math]A[/math] даёт в результате единичную матрицу [math]E[/math] [math]\! AA^{-1} = A^{-1}A = E[/math]

Определение:

Критерий обратимости матрицы: квадратная матрица обратима тогда и только тогда, когда она невырожденная, то есть ее определитель НЕ равен нулю.

Свойства обратной матрицы

• [math]\det A^{-1} = \frac{1}{\det A}[/math]
• [math]\ (AB)^{-1} = B^{-1}A^{-1}[/math]
• [math]\ (A^T)^{-1} = (A^{-1})^T[/math]
• [math]\ (kA)^{-1} = k^{-1}A^{-1}[/math]

Метод Гаусса для нахождения обратной матрицы

Возьмём две матрицы: саму [math]A[/math] и [math]E[/math]. Приведём матрицу [math]A[/math] к единичной матрице методом Гаусса. После применения каждой операции к первой матрице применим ту же операцию ко второй. Когда приведение первой матрицы к единичному виду будет завершено, вторая матрица окажется равной [math]A^-1[/math].

Пример

Найдем обратную матрицу для матрицы

[math] A = \begin{bmatrix} 2 & -1 & 0 \\ -1 & 2 & -1 \\ 0 & -1 & 2 \end{bmatrix}. [/math]

1) Для начала убедимся, что ее определитель не равен нулю(она невырожденная).

2) Справа от исходной матрицы припишем единичную.

[math] [ A | I ] = \left[ \begin{array}{rrr|rrr} 2 & -1 & 0 & 1 & 0 & 0\\ -1 & 2 & -1 & 0 & 1 & 0\\ 0 & -1 & 2 & 0 & 0 & 1 \end{array} \right]. [/math]

3) Методом Гаусса приведем левую матрицу к единичной, применяя все операции одновременно и к левой, и к правой матрицам.

[math] [ I | B ] = \left[ \begin{array}{rrr|rrr} 1 & 0 & 0 & \frac{3}{4} & \frac{1}{2} & \frac{1}{4}\\[3pt] 0 & 1 & 0 & \frac{1}{2} & 1 & \frac{1}{2}\\[3pt] 0 & 0 & 1 & \frac{1}{4} & \frac{1}{2} & \frac{3}{4} \end{array} \right]. [/math]

4) [math]A^{-1} = B[/math]