Алгоритм "Вперед-Назад"

Пусть дана скрытая Марковская модель [math]\lambda = \{\bold{S}, \bold{\Sigma}, \bold{\Pi}, \bold{A}, \bold{B}\}[/math], где [math]\bold{S} = \{s_1, ..., s_n\}[/math] - состояния, [math]\bold{\Sigma} = \{\omega_1, ..., \omega_m\}[/math] - возможные события, [math]\bold{\Pi}[/math] -- начальные вероятности, [math]\bold{A} = \{a_{ij}\}[/math] -- матрица переходов, а [math]\bold{B} = \{b_{ik}\}[/math] -- вероятность наблюдения события [math]\omega_k[/math] после перехода в состояние [math]s_i[/math].

За [math]T[/math] шагов в этой модели получилась последовательность наблюдений [math]O_{1,T} = {o_1, ..., o_T}[/math].

Алгоритм "вперед-назад" позволяет найти в скрытой Марковской модели вероятность попадания в состояние [math]s_i[/math] на [math]t[/math]-ом шагу, при последовательности наблюдений [math]O = \{o_1 , ..., o_T\}[/math].

Вычисление

Пусть в момент [math]t[/math] мы оказались в состоянии [math]i[/math]: [math]X_t = i[/math]. Назовем [math]\alpha_{i}(t)[/math] вероятность того, что при этом во время переходов образовалась последовательность наблюдений [math]O_{1,t-1}[/math], а [math]\beta_{i}(t)[/math] — вероятность того, что после этого состояния мы будем наблюдать последовательность наблюдений [math]O_{t,T}[/math]:

[math]\alpha_{i}(t) \overset{def}{=} P(O_{1, t-1} | X_t = i) \\ \beta_i(t) \overset{def}{=} P(O_{t,T} | X_t = 1)[/math]

Нам требуется найти [math]P(X_t = i | O) = P(X_t = i | O_{1,t-1} \cap O_{t,T})[/math]. Поскольку будущее Марковской цепи не зависит от прошлого, мы можем утверждать, что вероятность того, что мы будем наблюдать события [math]O_{t,n}[/math] не зависит от того, что в прошлом мы наблюдали последовательность [math]O_{1,t-1}[/math], и, следовательно:

[math]P(X_t = i | O) \propto P(X_t = i | O_{1,t-1}) \cdot P(X_t = 1 | O_{t,T}) = \alpha_{i}(t) \cdot \beta_{i}(t)[/math]