Моноид

Определение:

Полугруппа [math]\langle G,\cdot\rangle[/math] называется моноидом, если в множестве [math]G[/math] существует элемент, нейтральный относительно операции полугруппы: [math]\exists e\in G : \forall x\in G : e\cdot x=x \cdot e=x[/math].

Утверждение (О единственности нейтрального элемента):

Нейтральный элемент в моноиде единственен.

[math]\triangleright[/math]

Действительно, путь [math]e_1[/math] и [math]e_2[/math] — два нейтральных элемента. Тогда имеем: [math]e_1 = e_1\cdot e_2 = e_2[/math].

[math]\triangleleft[/math]

Примером моноида является множество действительных чисел [math]\mathbb{R}[/math] c операцией умножения или сложения (нейтральными элементами являются 1 и 0 соответственно).