Схемная сложность и класс P/poly

Определения

Определение:

[math]P/poly=\{L | \forall n [/math] существует логическая схема [math] C_n [/math] с [math] n [/math] входами и одним выходом такая, что: размеры [math] C_n \leqslant p(n)[/math]; [math]x \in L \iff C_{|x|}(x) = 1 \}[/math].

Определение:

Пусть C — сложностный класс, f — функция. Тогда [math] C/f = \{L| [/math] существуют [math] a_0, a_1, .. , a_n, .. , [/math] программа p, удовлетворяющая ограничениям C: [math]|a_i| \leqslant f(i) [/math]; [math] x \in L \iff p(x, a_{|x|})=1 [/math].

Определение:

Пусть [math] F = \{f_i\}[/math]. Тогда [math] C/F = \bigcup\limits_{f \in F} C/f [/math].

Теоремы

Теорема:

[math] P \subset P/poly [/math].

Доказательство:

[math]\triangleright[/math]

[math] L \in P \Rightarrow \exists [/math] Машина Тьюринга m такая, что [math] L(m)=L [/math]. В теореме Кука мы показали, что для машины Тьюринга можно составить логическую схему. Отсюда следует, что [math] P \subset P/poly [/math].

[math]\triangleleft[/math]

Теорема:

Схемная сложность полином [math] \subset P/poly[/math].

Доказательство:

[math]\triangleright[/math]

[math] L \in [/math] схемная сложность полином. Тогда [math] \exists C_0, C_1, .., C_n, .. [/math]. Запишем программу [math] p(x, C_{|x|}) [/math]: return [math]eval(x, C_{|x|}) [/math] Теорема выполняется.

[math]\triangleleft[/math]

Теорема:

[math] P/poly \subset [/math] схемная сложность полином.

Доказательство:

[math]\triangleright[/math]

Пусть [math] L \in P/poly [/math]. Тогда существуют [math] a_0, a_1, .. , a_n, .. [/math] — подсказки. Зафиксируем n. Пусть подсказка [math] a_n [/math] позволяет определить, удовлетворяет ли вход x длины n логической схеме. Зашьем эту подсказку в логическую схему [math] C_n [/math]. Теперь логическая удовлетворяет только словам из языка.

[math]\triangleleft[/math]