Представление производящей функций в виде непрерывных дробей

Определения

Определение:

Непрерывная дробь (англ. continued fraction) — это бесконечное математическое выражение вида [math]a_0+\cfrac{b_1}{a_1+\cfrac{b_2}{a_2+\cfrac{b_3}{a_3+\ldots}}}\;[/math] где [math]a_{0}[/math] и [math]b_n[/math] есть целые числа, а [math]a_n[/math] — натуральные числа (положительные целые).

Определение:

Конечная непрерывная дробь (англ. finite continued fraction) — это непрерывная дробь, которая состоит из конечного набора [math]\langle a_0, a_1, a_2, a_3,\ldots, a_n \rangle[/math] и [math]\langle b_0, b_1, b_2, b_3,\ldots, b_n \rangle.[/math]

Любая конечная дробь представима в виде некоторой рациональной дроби [math]\cfrac{P_n}{Q_n}[/math], которую называют n-ой подходящей дробью.

Свойства

Всякий многочлен или дробно-рациональная функция может быть разложена в непрерывную дробь[20]:
[math]\cfrac{b_1}{a_1+\cfrac{b_2 x}{a_2+\cfrac{b_3 x}{a_3+\ldots}}}\;[/math]
Например для функции [math]f(x)=\displaystyle\frac{1-x}{1-5x+6x^2}[/math]:
[math]f(x)=\cfrac{1}{1-\cfrac{4 x}{1-\cfrac{2 x}{-4+6x}}}\;[/math]

При чем рациональная функция раскладывается в конечную непрерывную дробь. Следовательно дробно-рациональная производящая функция всегда раскладывается в конечную непрерывную дробь.