Отношение эквивалентности

Материал из Викиконспекты
Перейти к: навигация, поиск
Определение:
Бинарное отношение R на множестве X называется отношением эквивалентности (англ. equivalence binary relation), если оно обладает следующими свойствами:

Отношение эквивалентности обозначают символом . Запись вида ab читают как "a эквивалентно b"

Примеры отношений эквивалентности

  • Отношение равенства(=) является тривиальным примером отношения эквивалентности на любом множестве.
  • Отношение равенства по модулю k: abmodk на множестве целых чисел.
  • Отношение параллельности прямых на плоскости.
  • Отношение подобия фигур на плоскости.
  • Отношение равносильности на множестве уравнений.
  • Отношение связности вершин в графе.
  • Отношение быть одного роста на множестве людей.

Следующие отношения не являются отношениями эквивалентности:

  • Отношения порядка, так как они не являются симметричными.
  • Отношение быть знакомым на множестве людей, так как оно не транзитивное.

Классы эквивалентности

Определение:
Система непустых подмножеств {M1,M2,,Mn,} множества M называется разбиением (англ. partition) данного множества, если:
  • M=M1M2Mn
  • MiMj= при ij.
Множества M1,M2,,Mn, называются классами данного разбиения.

Примерами разбиений являются:

  • Разбиение многоугольников на группы по числу вершин.
  • Разбиение треугольников по свойствам углов (остроугольные, прямоугольные, тупоугольные).
  • Разбиение учащихся школы по классам.
Теорема:
Если на множестве M задано отношение эквивалентности , то оно порождает разбиение этого множества на классы эквивалентности такое, что:
  • любые два элемента одного класса находятся в отношении
  • любые два элемента разных классов не находятся в отношении

Семейство всех классов эквивалентности множества образует множество, называемое фактор-множеством, или факторизацией множества M по отношению , и обозначаемое M/.

Примеры

  • Равенство - классический пример отношения эквивалентности на любом множестве, в т. ч. вещественных чисел
  • Равенство по модулю: ab (mod m)
  • В Евклидовой геометрии:
    • отношение подобия("")
    • отношение параллельности: ("∥")
    • отношение конгруэнтности: ("≅")
  • Разбиение многоугольников по количеству вершин
  • Оношение равносильности на множестве уравнений
  • Отношение равномощности множеств
  • Отношение принадлежать к одному виду на множестве животных
  • Отношение жить в одном городе на множестве людей

См. также

Источники информации