Регулярная марковская цепь

Определение:

Марковская цепь называется регулярной, если она целиком состоит из одного циклического класса.

Теорема:

Цепь регулярна тогда и только тогда, когда существует такое [math] n [/math], что в матрице [math] P^n [/math] все элементы ненулевые, то есть из любого состояния можно перейти в любое за [math] n [/math] переходов.

Лемма

Лемма:

Пусть [math]P_{[r\times r]}[/math] — матрица перехода регулярной цепи, [math]\varepsilon[/math] — минимальный элемент этой матрицы. Пусть х — произвольный r-мерный вектор-столбец, имеющий максимальный элемент [math]M_0[/math] и минимальный [math]m_0[/math]. Пусть [math]M_1[/math] и [math]m_1[/math] — максимальный и минимальный элементы [math]Px[/math]. Тогда [math]M_1 \leqslant M_0[/math], [math]m_1 \geqslant m_0[/math] и [math]M_1 - m_1 \leqslant (1 - 2\varepsilon)(M_0 - m_0)[/math]

Доказательство:

[math]\triangleright[/math]

Пусть х' — вектор, полученный из х заменой всех элементов, кроме [math]m_0[/math] на [math]M_0[/math]. Тогда [math]x \leqslant x'[/math]. Каждый элемент [math]Px'[/math] имеет вид [math]am_0 + (1 - a)M_0 = M_0 - a(M_0 - m_0)[/math], где а — элемент P, который домножается на [math]m_0[/math], причем [math]a \geqslant \varepsilon[/math]. Поэтому наше выражение не превосходит [math]M_0 - \varepsilon(M_0 - m_0)[/math]. Отсюда и из неравенства [math]x \leqslant x'[/math] получается: [math]M_1 \leqslant M_0 - \varepsilon (M_0 - m_0)[/math]. Применяя те же рассуждения для вектора -х, получим: [math]-m_1 \leqslant -m_0 - \varepsilon (-m_0 + M_0)[/math]. Складывая эти два неравенства, получаем [math]M_1 - m_1 \leqslant M_0 - m_0 - 2\varepsilon (M_0 - m_0) = (1 - 2\varepsilon )(M_0 - m_0)[/math], ч.т.д.

[math]\triangleleft[/math]

Эргодическая теорема для регулярных цепей

Теорема:

Регулярная марковская цепь эргодична. Другими словами: Пусть Р — регулярная переходная матрица. Тогда: [math]\exists A: \displaystyle \lim_{n \to \infty}P^n = A[/math]; каждая строка А представляет собой один и тот же вероятностный вектор [math]\alpha = \{a_1, a_2, \ldots, a_r \}[/math]

Доказательство:

[math]\triangleright[/math]

Рассмотрим вектор-столбец [math]e_j[/math], у которого j-й элемент равен 1, а все остальные равны 0. Пусть [math]M_n[/math] и [math]m_n[/math] — минимальный и максимальный элементы столбца [math]P^n e_j[/math]. Так как [math]P^n e_j = P \cdot P^{n-1} e_j[/math], то из леммы следует, что [math]M_1 \geqslant M_2 \geqslant \ldots[/math] и [math]m_1 \leqslant m_2 \leqslant \ldots[/math] и [math]M_n - m_n \leqslant (1 - 2\varepsilon )(M_{n-1} - m_{n-1})[/math]. Пусть [math]d_n = M_n - m_n[/math], тогда [math]d_n \leqslant (1 - 2 \varepsilon )^n d_0 = (1 - 2 \varepsilon)^n \to 0[/math]. Значит [math]P^n e_j[/math] сходится к вектору, все элементы которого равны между собой. Пусть [math]a_j[/math] — их общее значение. Тогда [math]0 \leqslant a_j \leqslant 1[/math]. Заметим, что [math]P^n e_j[/math] — j-тый столбец матрицы [math]P^n[/math]. Рассмотрим все [math]e_j[/math] для [math]j = 1, 2, \ldots[/math]. Тогда [math]P^n[/math] сходится к матрице А, у которой по строкам стоит один и тот же вектор [math]\alpha = \{a_1, a_2, \ldots, a_r \}[/math]. Так как в каждой матрице [math]P^n[/math] сумма элементов в строке равна 1, то то же самое справедливо и для предельной матрицы А. Теорема доказана.

[math]\triangleleft[/math]

Определение:

Матрица А называется предельной матрицей, вектор [math]\alpha[/math] — предельным распределением.

Следствия

Теорема:

Пусть [math]P, A, \alpha[/math] — объекты из предыдущей теоремы. Тогда справедливы факты: для любого вероятностного вектора [math]\pi \ \ \ \displaystyle \lim_{n \to \infty} \pi P^n = \alpha[/math] [math]\alpha[/math] — единственный вектор, для которого [math]\alpha P = \alpha[/math] [math]AP = PA = A[/math]

Доказательство:

[math]\triangleright[/math]

Пусть [math]\xi[/math] — вектор-столбец, состоящий из единиц. [math]\pi[/math] — вероятностный вектор, значит [math]\pi \xi = 1 [/math] ( сумма его элементов равна 1 ), значит [math]\pi A = \pi \xi \alpha = \alpha[/math]. Но [math]\displaystyle \lim_{n \to \infty} \pi P^n = \pi A = \alpha[/math] — первый пункт доказан. Пусть [math]\beta : \ \ \beta P = \beta[/math]. Тогда [math]\forall n \ \beta P^n = \beta \Rightarrow \beta = \beta A = \alpha[/math]. Второй пункт доказан. [math]\displaystyle \lim_{n \to \infty} P^n = A \Leftrightarrow P \cdot \lim_{n \to \infty} P^n = A \Leftrightarrow \lim_{n \to \infty} P^n \cdot P = A[/math]. Третий пункт доказан.

[math]\triangleleft[/math]

Таким образом у регулярных цепей есть свойство: через достаточно большое количество ходов будет существовать постоянная вероятность нахождения цепи в состоянии [math]s_i[/math], и эта вероятность не зависит от начального распределения, а зависит только от матрицы P.

Примеры

Пример регулярной цепи

Самый очевидный и тривиальный пример регулярной цепи:

Пусть у нас есть два состояния - "1" и "2". Каждый ход мы кидаем честную монету - если выпал "0", то цепь остается в предыдущем состоянии, если "1" - цепь меняет свое состояние.

Матрица переходов будет выглядеть так:

[math] P = \begin{bmatrix} 0.5 & 0.5 \\ 0.5 & 0.5 \end{bmatrix} [/math]

Тогда [math]\forall n \ \ P^n = P = A,\ \alpha = \{ 0.5, 0.5 \}[/math] То есть через достаточно большое количество ходов наша система будет равновероятно находится как в состоянии "1", так и в состоянии "2", независимо от начального распределения.

Более интересный пример — если мы будем управлять переходом состояний с помощью нечестной монеты. Пусть а - вероятность выпадения "0" на монете.

Матрица переходов будет выглядеть так:

[math] P = \begin{bmatrix} a & 1 - a \\ 1 - a & a \end{bmatrix} [/math]

Тогда при возведении Р в степень n элементы будут стремится к [math]\frac{1}{2}[/math] с разных сторон. То есть вектор [math]\alpha = \{ 0.5, 0.5 \}[/math], т.е от честности монеты ничего не зависит.

Литература

Дж. Кемени, Дж. Снелл "Конечные цепи Маркова", стр 93