Двойственное пространство

Введение

Введем понятия двойственного, к пространству [math]\mathbb{R}^2[/math], пространства. Для того чтобы избежать рассмотрения отдельных случаев, работаем в однородных координатах. Пока в конспекте есть недочеты.

Определение

Определение:

Двойственным пространством называется пространство линейных функционалов на линейном пространстве [math]\mathbb{R}^2[/math].

Любой линейный функционал [math]f[/math] можно представить как [math]f((x, y)) = ax - b + cy[/math]. Это значит, каждому такому функционалу будет соответствовать точка в двойственном пространстве с однородными координатами [math](-a, b, c)[/math]. Таким образом, мы можем определить дуальное преобразование ([math]p \mapsto p^\star[/math]) для прямой, как точку в двойственном пространстве.

Утверждение:

Дуальное преобразование от точки [math]p = (p_x, p_y)[/math] в исходном пространстве дает прямую [math]p^\star := (y = p_x x - p_y)[/math] в двойственном.

[math]\triangleright[/math]

Расмотрим все прямые [math]l[/math], такие что [math]p \in l[/math]. Более формально, пусть [math]L = \{l : l = (-a, b, c), \: cp_y = ap_x - b\}[/math]. Для каждой можно выразить [math]b[/math]: [math]b = ap_x - cp_y[/math], сделаем замену [math]\left[a := x, b := y\right][/math] и получим, что все точки [math]l^\star[/math] из [math]L[/math] удовлетворяют уравнению прямой.

[math]\triangleleft[/math]

Теорема:

пусть [math]l[/math] - прямая, а [math]p[/math] - точка, тогда: [math]p \in l \Leftrightarrow l^\star \in p^\star[/math] [math]p[/math] лежит над [math]l[/math], тогда и только тогда когда [math]l^\star[/math] лежит над [math]p^\star[/math]

Доказательство:

[math]\triangleright[/math]

TODO

[math]\triangleleft[/math]

Утверждение:

отрезок [math]pq[/math] переходит вот в такое множество: [math]P = \left\{t^\star = (x, y): \left\lt p^\star, t^\star \right\gt \geqslant 0 \wedge \left\lt q^\star, t^\star \right\gt \geqslant 0 \wedge \left\lt l^\star, t^\star \right\gt \geqslant 0 \vee \left\lt p^\star, t^\star \right\gt \leqslant 0 \wedge \left\lt q^\star, t^\star \right\gt \leqslant 0 \wedge \left\lt l^\star, t^\star \right\gt \leqslant 0\right\}[/math], где [math]l[/math] - прямая на которой лежат [math]p[/math] и [math]q[/math].

[math]\triangleright[/math]

TODO

[math]\triangleleft[/math]

Прикладной смысл двойственного пространства

Двойственной пространство позволяет нам посмотреть на некоторые задачи с другой точки зрения. Ниже приведен список задач:

1. Построение пересечения полуплоскостей с помощью построения выпуклой оболочки в двойственном пространстве
2. Set of points to Arrangements of Lines // TODO