Метрические, нормированные и евклидовы пространства

//статья в разработке\\

Метрическое пространство

Определение

Пусть [math]M[/math] - множество, тогда [math]M[/math] называется метрическим пространством, если на нём определена функция [math]f:\: M\times M\longrightarrow R[/math] (расстояние), такая, что выполняются три аксиомы:

[math]1)\:f(x,y)=0\Longleftrightarrow x=y[/math] - аксиома тождества;

[math]2)\:f(x,y)=f(x,y)[/math] - аксиома симметрии;

[math]3)\:f(x,y)+f(y,z)\geq f(x,z)[/math] - аксиома(неравенство) треугольника;

Примеры

1) Дискретная:[math] f(x,y)=\left\{ \begin{array}{c} 1,\: x\ne y\\ 0,\: x=y \end{array}\right\}[/math]

2) [math]M=R^{n}; \: f(x,y)=max\:|x_{i}-y_{i}|[/math] (по всем i)

Нормированное пространство

Определение

Пусть [math]X[/math] - линейное пространство над [math]R(C)[/math], тогда [math]X[/math] называется нормированным пространством, если на нём определена функция [math]\Vert\:\Vert: X\longrightarrow R[/math] (норма), такая, что выполняются три свойства:

[math]1)\Vert x \Vert \geq 0; \Vert x \Vert = 0 \Leftrightarrow x = 0_{x}[/math] - положительная определённость

[math]2)\Vert \alpha x \Vert = | \alpha|\cdot \Vert x \Vert[/math]

[math]3)\Vert x+y \Vert \leq \Vert x \Vert+\Vert y \Vert[/math]