Задача о счастливых билетах

Троллейбусный (трамвайный) билет имеет номер, состоящий из шести цифр. Билет считается счастливым, если сумма первых трёх цифр равна сумме последних трёх, например, [math]024321[/math]. Известно, что количество счастливых билетов из шести цифр равно [math]55252[/math].

Задача:

Для натурального [math]n[/math] найти количество [math]2n[/math]-значных счастливых билетов ([math]L_n[/math]).

Решение с помощью динамического программирования

Обозначим количество [math]n[/math]-значных чисел с суммой [math]k[/math] как [math]D_n^k[/math] (число может содержать ведущие нули). [math]2n[/math]-значный счастливый билет состоит из двух частей: левой ([math]n[/math] цифр) и правой (тоже [math]n[/math] цифр), причём в обеих частях сумма цифр одинакова. Количество счастливых билетов с суммой [math]k[/math] в одной из частей равно [math](D_n^k)^2[/math]. Значит общее число билетов равно [math]L_n = \sum_{k=0}^{9n} (D_{n}^{k})^2[/math]