Введение в комплексный анализ

Эта статья находится в разработке!

На главную <<

Комплексный анализ отличается от математического анализа тем, что мы работаем теперь не только с вещественными числами, но и с комплексными.

Определение:

Комплексное число это пара [math] \langle a, b \rangle [/math] заданных на множестве, где определены операторы сложения и умножения: 1) [math] z_1 + z_2 = (a_1 + a_2, b_1 + b_2)[/math]; 2) [math] z_1 z_2 = (a_1 a_2 - b_1 b_2, a_1 b_2 + a_2 b_1)[/math].

Соответственно пара [math] \langle a, b \rangle [/math] это некий абстрактный объект.

Именно из этого определения и получается, что комплексное число [math] z [/math] можно представить в виде [math] a + b i [/math], где [math] i^2 = -1 [/math].

Для выделения вещественной и комплексной частей будем пользоваться записями [math] Re(z) = a [/math] и [math] Im(z) = b [/math].

Комплексное число можно представить на плоскости, если отталкиваться от вещественной и мнимой частей, как от координат абсциссы и ординаты. А значит длина полученного вектора на плоскости [math] |z| = r = sqrt(a^2 + b^2) [/math]. Если задавать вектор не в Декартовой системе координат, а в полярной, то приходится работать с [math] \Phi = \phi + 2 \pi k - art(z)[/math], где [math] k [/math] целое число.

Ссылки

• Математический анализ — 1, 2 семестр
• Математический анализ — 3, 4 семестр