Сложение и разность потоков

Лемма о сложении потоков

Лемма:

Пусть [math] G = (V, E) [/math] - транспортная сеть с источником [math]s[/math] и стоком [math]t[/math], а [math]f[/math] - поток в [math]G[/math]. Пусть [math]G_f[/math] - остаточная сеть в [math]G[/math], порожденная потоком [math]f[/math], а [math]f'[/math] - поток в [math]G_f[/math]. Тогда сумма потоков [math]f + f'[/math], определяемая уравнением [math](f + f')(u, v) = f(u,v) + f'(u,v)[/math], является потоком в [math]G[/math], и величина этого потока равна [math]|f + f'| = |f| + |f'|[/math].

Доказательство:

[math]\triangleright[/math]

Необходимо проверить, выполняются ли ограничения антисимметричности, пропускной способности и сохранения потока. 1) Для подтверждения антисимметричности заметим, что для всех [math](u,v) \in V[/math] справедливо: [math] (f + f')(u, v) = f(u,v) + f'(u,v) = -f(v,u) - f'(v,u) [/math] [math] = -(f(v,u) + f'(v,u)) = -(f + f')(v,u)[/math] 2) Покажем соблюдение ограничений пропускной способности. Заметим, что [math]f'(u,v) \le c_f(u,v)[/math] для всех [math]u,v \in V [/math] и [math] c_f(u, v) = c(u, v) - f(u, v) [/math]. Тогда [math](f + f')(u,v) = f(u,v) + f'(u,v) \le f(u,v) + (c(u,v) - f(u,v)) = c(u,v) [/math]. 3) Заметим, что для всех [math]u \in V - \{s,t\}[/math] справедливо равенство [math] \sum\limits_{v\in V} (f + f')(u, v) = \sum\limits_{v\in V} (f(u,v) + f'(u,v)) = \sum\limits_{v\in V} f(u,v) + \sum\limits_{v\in V} f'(u,v) = 0 + 0 = 0[/math] [math] |f + f'| = \sum\limits_{v\in V} (f + f')(s, v) = \sum\limits_{v\in V} (f(s,v) + f'(s,v)) [/math] [math]= \sum\limits_{v\in V} f(s,v) + \sum\limits_{v\in V} f'(s,v) = |f| + |f'|[/math]

[math]\triangleleft[/math]

Аналогичная лемма о разности потоков

Лемма:

Также есть аналогичная лемма о разности потоков. Пусть [math] G = (V, E) [/math] - транспортная сеть с источником [math]s[/math] и стоком [math]t[/math], а [math]h[/math] и [math]f[/math] - потоки в [math]G[/math]. Пусть [math]G_f[/math] - остаточная сеть в [math]G[/math], порожденная потоком [math]f[/math]. Тогда разность потоков [math]h - f[/math], определяемая уравнением [math](h - f)(u, v) = h(u,v) - f(u,v)[/math], является потоком в [math]G_f[/math], и величина этого потока равна [math]|h - f| = |h| - |f|[/math].

Доказательство:

[math]\triangleright[/math]

Антисимметричность и правило сохранения потока для [math]h - f[/math] проверяются аналогично лемме о сложении потоков. Покажем соблюдение ограничений пропускной способности. [math](h - f)(u,v) = h(u,v) - f(u,v) \le c(u,v) - f(u,v) = c_f(u,v) [/math]. Теперь покажем, что величина потока [math]h - f[/math] равна разности величин потоков [math]h[/math] и [math]f[/math]. [math] |h - f| = \sum\limits_{v\in V} (h - f)(s, v) = \sum\limits_{v\in V} (h(s,v) - f(s,v)) [/math] [math]= \sum\limits_{v\in V} h(s,v) - \sum\limits_{v\in V} f(s,v) = |h| - |f|[/math]

[math]\triangleleft[/math]

Литература

• Кормен Т., Лейзерсон Ч., Ривест Р. Алгоритмы: построение и анализ.[1] — 2-е изд. — М.: Издательский дом «Вильямс», 2007. — С. 1296.