Линейные функционалы

Определение:

Пусть [math]X[/math] ­— линейное множество. Отображение [math] f\colon X \to \mathbb{R} [/math] — линейный функционал, если [math]\forall \alpha, \beta \in \mathbb{R} \ \forall x, y \in X : f(\alpha x + \beta y) = \alpha f(x) + \beta f(y)[/math]. Обозначим [math]X^*[/math] — совокупность линейных функционалов, определенных на множестве [math]X[/math]. [math] \mathrm{Ker}\, f = \{x \mid f(x) = 0 \} [/math] — ядро функционала.

Заметим: [math] \forall \alpha \in \mathbb{R} ~ 0 \cdot \alpha = 0[/math]. По линейности [math]f(\alpha \cdot 0) = \alpha f(0)[/math], следовательно, [math]f(0) = 0[/math].

[math] \mathrm{Ker}\, f [/math] — линейное подмножество [math]X[/math]: Пусть [math]x, y \in \mathrm{Ker}\, f[/math], тогда [math]f(\alpha x + \beta y) = \alpha f(x) + \beta f(y) = 0 \implies \alpha x + \beta y \in \mathrm{Ker}\, f[/math].

Коразмерность

Выясним геометрическую структуру ядра.

Напомним свойства отношения эквивалентности:

1. Рефлексивность: [math]x \sim x[/math]

2. Симметричность: [math]x_1 \sim x_2 \implies x_2 \sim x_1[/math]

3. Транзитивность: [math]x_1 \sim x_2,~ x_2 \sim x_3 \implies x_1 \sim x_3[/math]

Определение:

Пусть [math]X[/math] ­— линейное множество, [math]Y[/math] линейное подмножество [math]X[/math]. Введем отношение эквивалентности на [math]X[/math]: [math] x_1 \sim x_2 \stackrel{\mathrm{def}}{\iff} x_1 - x_2 \in Y [/math] [math] [x] = \{ y \in X \mid y \sim x \} [/math] — классы смежности по [math]Y[/math]. [math] X /_Y [/math] — совокупность всех классов смежности — фактор-множество по [math]Y[/math].

Операции над классами смежности:

[math] [x] + [y] \stackrel{\mathrm{def}}{=} [x+y] [/math]

[math] \alpha [x] \stackrel{\mathrm{def}}{=} [\alpha x] [/math]

Эти операции не зависят от представителя класса.

Фактор-множество — линейное, следовательно, можно говорить о его размерности:

Определение:

[math]\mathrm{Codim}\, Y \stackrel{\mathrm{def}}{=} \dim X /_Y [/math] — коразмерность [math]Y[/math]. [math] Y [/math] — гиперплоскость в [math]X[/math], если [math]\mathrm{Codim}\, Y = 1[/math].

Что означает коразмерность на языке исходных линейных операций?

Утверждение:

[math]\mathrm{Codim}\, Y = n \iff \exists\, e_1, \ldots, e_n \in X [/math] такие, что [math]\forall x \in X[/math] представляется единственным образом: [math] x = \sum\limits_{k=1}^n \alpha_k e_k + y, ~ y \in Y[/math].

[math]\triangleright[/math]

Замечание: для [math]n = 1[/math]: если [math]\mathrm{Codim}\, Y = 1 \iff \exists\, e \in X [/math] такое, что [math]\forall x \in X[/math] представляется единственным образом: [math] x = \alpha e + y, ~ y \in Y[/math]. Доказательство [math]\implies[/math]: [math]\mathrm{Codim}\, Y = n \implies \dim X /_Y = n \implies \exists \xi_1 \ldots \xi_n \in X /_Y [/math] — базис [math] X /_Y [/math]. [math] \forall \xi \in X /_Y [/math] единственным образом [math]\xi = \sum\limits_{k=1}^n \alpha_k \xi_k [/math]. Рассмотрим [math] \forall x \in X [/math], [math] [x] \in X /_Y [/math] и его представление [math] [x] = \sum\limits_{k=1}^n \alpha_k \xi_k [/math]. Пусть [math] \xi_k = [ e_k ] [/math], то есть [math] [ x ] = \left [ \sum\limits_{k=1}^n \alpha_k e_k \right ] [/math]. Следовательно, по определению [math] [ x ] [/math], [math] x \sim \sum\limits_{k=1}^n \alpha_k e_k [/math] [math] \implies x - \sum\limits_{k=1}^n \alpha_k e_k = y \in Y \implies x = \sum\limits_{k=1}^n \alpha_k e_k + y [/math] ­— разложение [math] x [/math]. Единственность следует из единственности разложения по базису [math] [x] = \sum\limits_{k=1}^n \alpha_k \xi_k [/math]. Доказательство [math] \Longleftarrow [/math]: TODO: упражнение (все шаги "туда" вроде бы равносильны)

[math]\triangleleft[/math]

Утверждение (Коразмерность ядра функционала):

Если [math] f [/math] не является тождественно равным нулю, то [math]\mathrm{Codim}\, \mathrm{Ker}\, f = 1 [/math].

[math]\triangleright[/math]

Более подробно Рассмотрим [math]x_0 \in X : f(x_0) \not = 0 [/math]. Возьмем [math]\forall x \in X[/math], подберем [math]\alpha[/math] такое, чтобы [math]y = x - \alpha x_0 \in \mathrm{Ker}\, f[/math]. [math]f (x - \alpha x_0) = 0 \implies f(x) = \alpha f(x_0), \quad f(x_0) \not = 0 \implies \alpha = \frac{f(x)}{f(x_0)} [/math]. Представление единственно: пусть есть два представления [math]x = \alpha x_0 + y[/math] и [math]x = \beta x_0 + y'[/math], тогда [math](\beta - \alpha) x_0 + (y - y') = 0[/math]. Применим к обеим частям [math]f[/math], тогда [math](\beta - \alpha) f(x_0) + f(y - y') = f(0)[/math], так как [math] y - y' [/math] в ядре, получили [math] f(x_0) = 0[/math], то есть противоречие. Нашли единственное представление, следовательно, по предыдущему утверждению, [math]\mathrm{Codim}\, \mathrm{Ker}\, f = 1 [/math].

[math]\triangleleft[/math]

Итак, ядро линейного функционала является гиперплоскостью.

Для непрерывности надо превратить [math]X[/math] в ТВП. Наиболее важный случай — когда [math]X[/math] является НП.

Для функционального анализа значение имеют линейные непрерывные функционалы.

Непрерывность функционала

Определение:

Пусть [math]X[/math] ­— нормированное пространство. Линейный функционал [math] f \in X^* [/math] — непрерывен в точке [math] x [/math], если [math]x_n \to x \implies f(x_n) \to f(x) [/math].

Далее: [math] \| \cdot \| [/math] — норма на [math] X [/math].

Заметим, что в силу линейности функционала нам достаточно проверять непрерывность в нуле:

Утверждение:

Линейный функционал [math]f[/math] непрерывен [math] \iff [/math] [math]f[/math] непрерывен в нуле.

[math]\triangleright[/math]

Рассмотрим [math] x_n \to 0 [/math]. [math] f(x_n) \to f(0) = 0 [/math]. Проверим непрерывность [math]f[/math]: [math] x_n \to x \implies x_n - x \to 0 \implies f(x_n - x) \to 0 [/math] [math]f(x_n - x) = f(x_n) - f(x), \quad f(x_n) \to f(x) [/math]

[math]\triangleleft[/math]

Обозначение [math] \overline{V}_1 = \{ x : \| x \| \leq 1 \} [/math]

Введем норму в [math] X^* [/math]:

[math] \| f \| \stackrel{\mathrm{def}}{=} \sup\limits_{\overline{V}_1} {| f(x) |} [/math]

Определение:

[math] f [/math] ­— ограниченный функционал, если [math] \| f \| \lt \infty [/math].

Отметим, что для ограниченного функционала: [math] \forall x \in X, x \not = 0[/math]

[math] \frac {x} {\| x \| } \in \overline{V}_1 \implies \left | f \left ( \frac {x} {\| x \|} \right ) \right | \leq \| f \| \implies f \left ( \frac {x} {\| x \|}\right ) = \frac 1 {\| x \|} f(x) \implies \\ | f(x) | \leq \| f \| \cdot \| x \| [/math]

Утверждение:

[math]f[/math] — непрерывен [math] \iff [/math] [math]f[/math] ­— ограничен.

[math]\triangleright[/math]

1) [math]f[/math] ­— ограничен [math] \implies \| f \| \lt \infty [/math]. Как отмечалось ранее: [math] | f(x) | \leq \| f \| \cdot \| x \| [/math] Рассмотрим [math] x_n \to 0 \implies \| x_n \| \to 0 \implies | f(x_n) | \leq \| f \| \cdot \| x_n \| \implies f(x_n) \to 0 \implies f[/math] — непрерывен. 2) [math]f[/math] — непрерывен. Пусть [math] \| f \| = \infty [/math], тогда по определению [math] \| f \| [/math]: [math] \forall n \in \mathbb{N} ~ \exists\, x_n \in \overline{V}_1 : | f (x_n) | \gt n \implies [/math] по линейности [math] \left| f \left( \frac {x_n}{n} \right) \right| \gt 1 [/math]. [math] \left\| \frac{x_n}{n} \right\| = \frac1n \| x_n \| [/math], так как [math] x_n \in \overline{V}_1 \implies \frac1n \| x_n \| \leq \frac1n[/math] [math] n \to \infty, \quad \frac1n \to 0, \quad \left \| \frac {x_n}{n} \right \| \to 0 \implies \frac{x_n}{n} \to 0 \implies [/math] по непрерывности [math] f \left ( \frac {x_n}{n} \right ) \to 0 [/math]. Пришли к противоречию.

[math]\triangleleft[/math]

Пусть [math] X^* [/math] обозначает теперь более узкий класс линейных ограниченных функционалов. То, что [math]\|f\|[/math] — норма, проверяется так же, как свойства нормы линейного оператора, то есть получили, что [math]X^*[/math] — НП, сопряженное с [math]X[/math].

{{Утверждение |id=densefunextension |statement= Пусть [math] Y [/math] — линейное всюду плотное в [math] X [/math] множество. [math] f [/math] — линейный непрерывный функционал на [math] Y [/math]. Тогда существует единственный [math] \widetilde f [/math] — линейный непрерывный функционал на [math] X [/math] такой, что:

1) [math] \widetilde f |_Y = f [/math] — сужение на [math] Y [/math] совпадает с [math] f [/math]. 2) [math] \| \widetilde f \|_X = \| f \|_Y [/math]

|proof=

TODO: Было в виде идеи, доказал Дмитрий Герасимов 21:18, 7 января 2013 (GST) , проверьте

По определению всюду плотности, [math] \mathrm{Cl}\, Y = X [/math], то есть любое [math] \forall x \in X [/math] можно аппроксимировать последовательностями [math]y \in Y[/math]: [math] y_n \to x [/math], при этом последовательности [math]y[/math] будут сходящимися в себе.

Рассмотрим последовательность [math] \{ f(y_n) \} [/math]. Она сходится в себе, так как [math]f(y_n) - f(y_m) = f(y_n - y_m)[/math], [math]y_n - y_m \in Y[/math], и как мы уже заметили, последовательность [math]y[/math] сходится в себе, тогда [math]f(y_n - y_m) \le \|f\| \|y_n - y_m\|[/math], по ограниченности [math]f[/math] и сходимости в себе [math]y[/math], также сходится. Последовательность [math]f(y_n)[/math] сходится в себе, тогда по полноте [math]\mathbb{R}[/math], последовательность [math]f(y_n)[/math] также сходится к некому пределу , который мы и определим как продолжение функционала в точке [math]x[/math], то есть [math] \widetilde f(x) \stackrel{\mathrm{def}}{=} \lim f(y_n)[/math].

Установим единственность: Если [math]y_n \to x[/math] и [math]y'_n \to x[/math], то

[math]y_n - y'_n \to 0 \implies f(y_n - y'_n) \to 0 \implies f(y_n) - f(y'_n) \to 0 \\ \implies \lim f(y_n) = \lim f(y'_n) [/math].

Таким образом, предел не зависит от выбора [math] y_n [/math].

Покажем, что [math] \widetilde f [/math] ­— линейный и удовлетворяет условию теоремы:

• [math]\widetilde f (\alpha x) = \lim f(\alpha y_n) = \lim \alpha f(y_n) = \alpha \lim f(y_n) = \alpha \widetilde f(x)[/math]
• [math]\widetilde f (x + x') = \lim f(y_n + y'_n) = \lim f(y_n) + f(y'_n)[/math][math] = \lim f(y_n) + \lim f(y'_n) = \widetilde f(x) + \widetilde f(x')[/math]
• сужение: покажем, что [math]\forall y \in Y: \widetilde f(y) = f(y)[/math], как уже показали, можем выбрать любую последовательность, сходящуюся к [math]y[/math], тогда возьмем последовательность, состоящую только из [math]y[/math], очевидно, она сходится к [math]y[/math] и значения функционалов совпадают
• сохранение нормы: по только что доказанному свойству сужения, на [math]\| x \| \le 1, x \in Y[/math] функционал [math]\widetilde f [/math] принимает все те значения, что и [math]f[/math], поэтому достаточно показать, что не найдется [math]x: \| x \| \le 1, x \in X, x \notin Y: |\widetilde f(x)| \gt \|f\|[/math]. Пусть такой [math]x[/math] нашелся со значением функционала [math]\widetilde f(x) \gt 0[/math], значит, он является пределом какой-то последовательности [math]y_n[/math] в [math]Y[/math]. Тогда по определению продолжения функционала и определению предела [math]\forall \varepsilon \gt 0 \exists N \forall n \ge N: |f(y_n) - \widetilde f(x)| \lt \varepsilon[/math], возьмем [math]\varepsilon \lt \widetilde f(x) - \|f\|[/math], тогда найдется такой номер [math]N[/math], что [math]y_N \in Y, f(y_N) \gt \|f\|[/math], то есть получили противоречие.
• непрерывность: вместо непрерывности можно показать ограниченность, а по только что доказанному, норма сохраняется, и функционал останется ограниченным
• единственность: любой функционал [math]g[/math], удовлетворяющий условию теоремы, непрерывен, а значит из [math]y_n \rightarrow x[/math] следует [math]g(y_n) \rightarrow g(x)[/math], но [math]y_n \in Y \Rightarrow g(y_n) = f(y_n)[/math], то есть [math]g(x) = \lim f(y_n)[/math], то есть такой функционал может определяться только формулой выше.

Теорема (характеристика ограниченного функционала в терминах ядра):

[math]f[/math] — ограничен [math]\iff \mathrm{Ker}\, f[/math] — замкнуто в [math]X[/math].

Доказательство:

[math]\triangleright[/math]

[math]\implies[/math]: [math]f[/math] — ограничен, значит непрерывен. По непрерывности функционала: [math]x_n \to x \implies f(x_n) \to f(x) , \, x_n \in \mathrm{Ker}\, f[/math], все [math]f(x_n) = 0[/math], значит, и [math]f(x) = 0 \implies x \in \mathrm{Ker}\, f[/math] то есть оно содержит пределы своих подпоследовательностей [math]\implies[/math] ядро замкнуто. [math]\Longleftarrow [/math]: TODO: тут была какая-то непонятная хрень, запилил хорошее доказательство с английской википедии Покажем, что если [math]f[/math] не ограничен, [math]\mathrm{Ker}\, f[/math] — не замкнуто в [math]X[/math]. Рассмотрим определение неограниченности: [math]\forall n \exists u_n: \|u_n\| = 1, f(u_n) \ge n [/math] (заметим, что в классическом определении [math]|f(u_n)| \ge n[/math], однако по линейности пространства если оказалось, что [math]f(u_n) \le -n[/math], возьмем [math]-u_n: f(-u_n) \ge n[/math]), теперь определим последовательность [math]v_n = \frac{u_n}{f(u_n)}[/math], очевидно, [math]\|v_n\| \le \frac{1}{n}[/math], то есть [math]v_n \to 0[/math]. Теперь возьмем [math] a \notin \mathrm{Ker}\, f[/math] и определим последовательность [math]z_n = a - f(a) v_n[/math]. Каждый элемент [math]z_n[/math] содержится в ядре, так как [math]f(z_n) = f(a) - f(a) f(v_n) = f(a) (1 - f(v_n)) = 0[/math] (воспользуемся тем, что [math]f(v_n) = \frac{f(v_n)}{f(v_n)} = 1[/math]). Однако последовательность [math]z_n[/math] стремится к [math]a[/math], так как [math]v_n \to 0[/math], то есть стремится к элементу не из ядра. Таким образом, предъявили последовательность элементов в ядре, сходящуюся к элементу не из ядра и ядро не замкнуто.

[math]\triangleleft[/math]

Установим теперь важную теорему, которая задает общую формулу для записи линейного ограниченного функционала в гильбертовом пространстве.

Теорема (Рисс):

[math]\forall f \in H^*\; \exists ! y \in H : f(x) = \langle x, y \rangle[/math], причем [math]\|f\| = \|y\|[/math]

Доказательство:

[math]\triangleright[/math]

<wikitex> Покажем, что функционал, определенный как $g(x) = \langle x, y \rangle$ (для произвольного $y \in H$), — линейный и ограниченный, причем $\

[math]\triangleleft[/math]

Ссылки

• Quotient space
• Quotient space (linear algebra)