Аффинное пространство

Неформальное введение

Аффинное пространство можно воспринимать как векторное пространство, в котором потеряли начальную точку.

Представим, что Алиса знает настоящую начальную точку, а Боб думает, что начальная точка это [math]p[/math]. Есть какие-то два вектора [math]a[/math] и [math]b[/math], и Алиса с Бобом их складывают. Алиса, опираяющаяся на настоящую начальную точку, получит [math]a + b[/math], а Боб, откладывая те же вектора от точки [math]p[/math], получит [math]p + (a - p) + (b - p)[/math], понятно, что результаты будут разные.

Точно так же они могут вычислять линейные комбинации этих векторов, и, как правило, получать разные результаты. Однако, если сумма коэффициентов линейной комбинации будет равна [math]1[/math], то результаты будут получаться одинаковые. Алиса будет получать получать [math]\lambda a + (1 - \lambda) b[/math], и Боб будет точно так же получать [math]p + \lambda(a - p) + (1 - \lambda)(b - p) = \lambda a + (1 - \lambda) b[/math].

У Боба с Алисой есть знание об "аффинной структуре" пространства, то есть значения аффинных комбинаций, определённых как линейные комбинации в которых сумма коэффициентов равна [math]1[/math]. Пространство с аффинной структурой и есть аффинное пространство.

Определение

Определение:

Аффинное пространство – это множество [math]A[/math], ассоциированное с векторным пространством [math]V[/math] над полем [math]K[/math] и свободным действием аддитивной группы [math]V[/math].

Элементы аффинного пространства [math]A[/math] называются точками, элементы векторного пространства [math]V[/math] – векторами.

Другим языком, данное определение говорит, что существует отображение [math](+) : A \times V \rightarrow A[/math], обладающее следующими свойствами:

1. [math]\forall a \in A : a + 0 = a[/math];
2. [math]\forall v, w \in V, a \in A : (a + v) + w = a + (v + w)[/math];
3. Для всех [math]a[/math] из [math]A[/math] отображение [math](a+)[/math] биективно (и для всех [math]v[/math] из [math]V[/math] [math](+v)[/math] тоже биективно).

Последнее свойство позволяет определить вычитание двух элементов из [math]A[/math]. Пусть [math]a, b \in A[/math], тогда [math]b - a[/math] или [math]\overrightarrow{ab}[/math] это такой вектор из [math]V[/math], что [math]a + \overrightarrow{ab} = b[/math]. Таким образом определённое вычитание обладает следующими свойствами:

1. [math]\forall a \in A, v \in V \ \exists ! b \in A : \overrightarrow{ab} = v[/math];
2. [math]\forall a, b, c \in A : \overrightarrow{ab} + \overrightarrow{bc} = \overrightarrow{ac}[/math].

Базисы

Определение:

Набор векторов [math]\{\vec{e}_i\}_{i=1}^n[/math] называется линейно независимым (ЛНЗ), если его линейная комбинация [math]\sum_{i=1}^n \alpha_i \vec{e}_i[/math] равна нулю только в том случае, если она тривиальная, то есть [math]\forall i : \alpha_i = 0[/math].

Определение:

Векторное пространство называется [math]d[/math]-мерным, если в нём существует набор из [math]d[/math] линейно независимых векторов, и не существует набора из [math]d + 1[/math] линейно независимого вектора.

Единственность

Утверждение:

В [math]d[/math]-мерном пространстве любой вектор [math]\vec{A}[/math] единственным образом раскладывается в базисе из [math]d[/math] линейно независимых векторов [math]\{\vec{e}_i\}_{i=1}^d[/math] как [math]\sum_{i=1}^d\alpha_i\vec{e}_i[/math].

[math]\triangleright[/math]

Если мы добавим в базис вектор [math]\vec{A}[/math], то он обязательно станет линейно зависимым, и, значит, найдутся такие [math]\beta[/math] и [math]\{\alpha_i\}[/math], что [math]\displaystyle \beta \vec{A} + \sum_{i=1}^d\alpha_i\vec{e}_i=0 \implies \vec{A} = \sum\limits_{i=1}^d-\frac{\alpha_i}{\beta}\vec{e}_i[/math], и, значит, разложение существует. Теперь пусть есть два разложения [math]\sum_{i=1}^d\alpha_i\vec{e}_i=\vec{A}[/math] и [math]\sum_{i=1}^d\beta_i\vec{e}_i=\vec{A}[/math]. Тогда [math]\displaystyle \vec{A} - \vec{A} = \vec{0} = \sum_{i=1}^d(\alpha_i - \beta_i)\vec{e}_i[/math], однако такое может быть только в том случае, если линейная комбинация тривиальная, то есть [math]\alpha_i - \beta_i = 0 \implies \alpha_i = \beta_i \implies[/math]   разложение единственно.

[math]\triangleleft[/math]

Матрица перехода

Мы можем переходить из одного базиса в другой. Пусть у нас есть базисы [math]\{\vec{e}_i\}_{i=1}^d[/math] и [math]\{\vec{f}_i\}_{i=1}^d[/math].

[math]\displaystyle \vec{A} = \sum_{i=1}^d\alpha_i\vec{e}_i = \sum_{i=1}^d\beta_i\vec{f}_i \ \land\ \vec{e}_i = \sum_{j=1}^d c_{ij}\vec{f}_j[/math]

[math]\displaystyle \vec{A} = \sum_{i=1}^d\alpha_i\vec{e}_i = \sum_{i=1}^d \alpha_i \sum_{j=1}^d c_{ij} \vec{f}_j = \sum_{j=1}^d \vec{f}_j \sum_{i=1}^d \alpha_i c_{ij}[/math]

[math]\displaystyle \beta_j = \sum_{i=1}^d\alpha_i c_{ij} \implies \begin{pmatrix} \beta_1 \\ \beta_2 \\ \vdots \\ \beta_d \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} c_{11} & c_{21} & \cdots & c_{d1} \\ c_{12} & c_{22} & \cdots & c_{d2} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ c_{1d} & c_{2d} & \cdots & c_{dd} \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} \alpha_1 \\ \alpha_2 \\ \vdots \\ \alpha_d \end{pmatrix} [/math]