Числа Эйлера I и II рода — различия между версиями

Материал из Викиконспекты
Перейти к: навигация, поиск
(→‎Вывод рекуррентной формулы)
(→‎Свойства)
Строка 228: Строка 228:
 
:<tex>\sum\limits_{m=0}^n (-1)^m {\left\langle{n\atop m}\right\rangle}{n-1\choose m}^{-1}=0.</tex>
 
:<tex>\sum\limits_{m=0}^n (-1)^m {\left\langle{n\atop m}\right\rangle}{n-1\choose m}^{-1}=0.</tex>
  
−
4. Число <tex>\frac{1}{n!}\left\langle{n\atop m}\right\rangle</tex> выражает объем части <tex>n</tex>-мерного единичного гиперкуба, ограниченного гиперплоскостями <tex>x_1+x_2+\dots+x_n=m</tex> и <tex>x_1+x_2+\dots+x_n=m-1</tex>;
+
4. Вероятность того, что сумма <tex>n</tex> независимых равномерно распределённых в отрезке <tex>[0,1]</tex> переменных лежит между <tex>m-1</tex> и <tex>m</tex> равна <tex>\frac{1}{n!}\left\langle{n\atop m}\right\rangle</tex>.
−
 
 
−
''Доказательство''
 
−
 
 
−
Положим <tex>W_n^k</tex> - фигура, образованная сечением гиперкуба <tex>[0,1]^{n}</tex> плоскостями <tex>\sum\limits_{i=1}^{n} x_{i} = k</tex>  и <tex>\sum\limits_{i=1}^{n} x_{i} = k+1</tex>. Будем обозначать полупространство в <tex>\mathbb{R}^{n}</tex> как <tex>G_{w, z}^{n} = \{x \in \mathbb{R}^{n} : w \cdot x \le z \}</tex>
 
−
:<tex>W_n^k := \{ x \in \mathbb{R} : k \le x \cdot 1_{[n]} \le k+1 \} \cap I^{n}</tex>
 
−
 
 
−
Тогда перейдем к следующему равенству:
 
−
 
 
−
:<tex>\mathrm{Vol}_{n}(W_n^k) = \mathrm{Vol}_n(G_{1_{[n]},k+1}^{n} \cap I^n) - \mathrm{Vol}_n(G_{1_{[n]},k}^{n} \cap I^n)</tex>
 
−
:<tex>= \frac{1}{n!}[\sum\limits_{j=0}^{k+1}(-1)^{j}{n \choose j}(k+1-j)^{n} - \sum\limits_{j=0}^{k}(-1)^{j}{n \choose j}(k-j)^{n}]</tex>
 
−
:<tex> = \frac{1}{n!}\sum\limits_{j=0}^{k+1}(-1)^j{n+1 \choose j}(k+1-j)^n</tex>
 
−
:<tex> = \frac{1}{n!}\left\langle{n\atop k}\right\rangle</tex>
 
−
 
−
5. Вероятность того, что сумма <tex>n</tex> независимых равномерно распределённых в отрезке <tex>[0,1]</tex> переменных лежит между <tex>m-1</tex> и <tex>m</tex> равна <tex>\frac{1}{n!}\left\langle{n\atop m}\right\rangle</tex>.
 
  
 
==Числа Эйлера II рода==
 
==Числа Эйлера II рода==

Версия 00:37, 26 декабря 2013

Числа Эйлера I рода

Числа Эйлера I рода (Eulerian numbers) — количество перестановок чисел от 1 до n таких, что в каждой из них существует ровно m подъемов. Числа Эйлера I рода обозначают как [math]\langle{n\atop m}\rangle [/math] или же [math]A(n, m)[/math].

Определение:
Пусть [math]a[/math] и [math]b[/math] - соседние элементы некоторой перестановки порядка [math]n[/math] причем [math]a \gt b[/math]. Тогда пара [math](a, b)[/math] называется подъемом (ascent) данной перестановки.


Вывод рекуррентной формулы

Пусть у нас есть некая перестановка [math] \pi = \pi_1, \pi_2...\pi_{n-1} [/math]. Тогда операцией вставки элемента с номером n в какую-либо из позиций мы получим [math]n[/math] перестановок вида [math]\theta = \theta_1, \theta_2...\theta_p, n, \theta_q...\theta_{n-1}[/math]. Далее рассмотрим два случая:

1. Количество подъемов в перестановке [math]\theta[/math] равно количеству подъемов в [math]\pi[/math]. Этого можно добиться, вставляя элемент [math]n[/math] на самое первое место в [math]\theta[/math] (всего [math]\langle{n\atop m}\rangle [/math] возможностей) или перед последним последним элементом каждого подъема (еще [math]m \times [/math][math] \langle{n\atop m}\rangle [/math] раз).

2. Количество подъемов в новой перестановке на один больше предыдущего количества. Этого эффекта добиваемся вставкой элемента [math]n[/math] во все места, не подходящие по критерию первого пункта. Таких вставок, как не трудно догадаться, можно совершить [math](n - m)[/math][math]\langle{n\atop m}\rangle[/math].

Тогда рекуррентная формула имеет вид:

[math]\left\langle{n\atop m}\right\rangle = (m + 1)\left\langle{n - 1\atop m}\right\rangle + (n - m)\left\langle{n - 1\atop m - 1}\right\rangle[/math]

Примем также следующее начальное значение:

[math]\left\langle{0\atop m}\right\rangle = [m = 0][/math],

Запись [выражение] означает нотацию Айверсона.

Пример

Рассмотрим все перестановки порядка [math]4[/math], в которых есть ровно 2 подъема (в квадратных скобках один или больше подъемов подряд):

[math] \left\langle{4\atop 2}\right\rangle = 11: [124]3, [13][24], [134]2, [14][23], 2[134], [23][14], [23][41], [24][13], 3[124], [34][12], 4[123], [/math]

Согласно алгоритму вывода рекуррентной формулы мы можем добавить '4' в следующие позиции всех перестановок порядка [math]3[/math] с двумя подъемами, не увеличив количество подъемов:

[math] \left\langle{3\atop 2}\right\rangle = 1: [123] =\gt (4)[123], [1(4)][23], [12(4)]3 [/math]

Далее рассмотрим все перестановки порядка [math]3[/math] с одним подъемом, причем операцией вставки [math]4[/math] мы будем увеличивать количество перестановок на 1:

[math] \left\langle{3\atop 1}\right\rangle = 4:[/math]
[math][13]2 =\gt [13(4)]2, [13][2(4)];[/math]
[math]2[13] =\gt [2(4)][13], 2[13(4)];[/math]
[math][23]1 =\gt [23(4)]1, [23][1(4)];[/math]
[math]3[12] =\gt [3(4)][12], 3[12(4)];[/math]

Таким образом мы убеждаемся в верности формулы:

[math] \left\langle{4\atop 2}\right\rangle = (2 + 1) \left\langle{3\atop 2}\right\rangle + (4 - 2)\left\langle{3\atop 1}\right\rangle = 11;[/math]


Треугольник чисел Эйлера I рода

На значениях [math]n = m[/math] чисел Эйлера I рода можно построить массив [math]n \times m[/math], нижнедиагональная часть которого названа треугольником чисел Эйлера I рода.

m = 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
n = 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0
1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0
2 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0
3 1 4 1 0 0 0 0 0 0 0
4 1 11 11 1 0 0 0 0 0 0
5 1 26 66 26 1 0 0 0 0 0
6 1 57 302 302 57 1 0 0 0 0
7 1 120 1191 2416 1191 120 1 0 0 0
8 1 247 4293 15619 15619 4293 247 1 0 0
9 1 502 14608 88234 156190 88234 14608 502 1 0

Явная формула

Воспользуемся для вывода треугольником, построенным с помощью рекурсивного варианта формулы.

Следует заметить, что первый элемент каждой [math]m[/math]-той строки равен 1, а второй --- [math]2^{m} - (m + 1)[/math]. Третий выражается как

[math]3^{m}-(m + 1)2^m + \frac{(m+1)m}{2};[/math]

и так далее. Первые три элемента могут быть записаны в форме:

[math]\left\langle{m\atop 1}\right\rangle = {{m + 1} \choose {0}}1^{m}[/math]
[math]\left\langle{m\atop 2}\right\rangle = {{m + 1} \choose {0}}2^{m} + {{m + 1} \choose {1}}1^{m}[/math]
[math]\left\langle{m\atop 3}\right\rangle = {{m + 1} \choose {0}}3^{m} - {{m + 1} \choose {1}}2^{m} + {{m + 1} \choose {2}}1^{m}[/math]

Тогда нетрудно проверить, что эта сумма продолжается именно таким образом и, следовательно, мы можем обобщить ее в "строгом виде" как:

[math]\left\langle{m\atop n}\right\rangle = \sum\limits_{j=1}^{n+1} (-1)^{n-j+1} {m+1\choose n-j+1}j^{m}[/math]

Свойства

Свойство 4 для m = 2, n = 1. V = 1/2
Свойство 4 для m = 3, n = 2. V = 1/6

1. Нетрудно увидеть, что каждый ряд ненулевых значений симметричен относительно своей середины, то есть:

[math]\left\langle{n\atop m}\right\rangle = \left\langle{n\atop (n-1) - k}\right\rangle,\ n \ge 1,\ 0 \le k \le n-1. \, [/math]

2. Сумма всех значений каждого ряда равна [math] n! [/math]:

[math]\sum\limits_{k=0}^{n} \left\langle{n\atop m}\right\rangle = n!,\ n \ge 0, \,[/math]

3. Связь чисел Эйлера I рода с числом сочетаний:

[math]\sum\limits_{m=0}^n (-1)^m {\left\langle{n\atop m}\right\rangle}{n-1\choose m}^{-1}=0.[/math]

4. Вероятность того, что сумма [math]n[/math] независимых равномерно распределённых в отрезке [math][0,1][/math] переменных лежит между [math]m-1[/math] и [math]m[/math] равна [math]\frac{1}{n!}\left\langle{n\atop m}\right\rangle[/math].

Числа Эйлера II рода

Числа Эйлера II рода (Eulerian numbers of the second kind) — количество перестановок мультимножества от [math]1[/math] до [math]n[/math] вида [math]\{1,1,2,2..n,n\}[/math], обладающих свойством "все элементы перестановки, встречающиеся между двумя вхождниями [math]z[/math] для любого [math]z[/math], больше, чем [math]z[/math]", таких, что в каждой из них существует ровно [math]m[/math] подъемов. Числа Эйлера II рода обозначаются как [math] \scriptstyle \left\langle \!\! \left\langle {n \atop m} \right\rangle \!\! \right\rangle [/math]


Пример

Рассмотрим [math] n = 3[/math]. Тогда существует 15 перестановок такого вида, среди которых одна не имеет подъемов, 8 штук имеют всего 1 подъем, и 6 перестановок имеют 2 подъема:

[math] 332211,\; [/math]
[math] 221[13]3,\; 22[13]31,\; 2[23]311,\; [23]3211,\; 1[13]322,\; [13]3221,\; 331[12]2,\; 33[12]21, [/math]
[math]1[12][23]3,\; [12]2[13]3,\; 1[123]32,\; [123]321,\; [13]3[12]2,\; [12][23]31. [/math]
Лемма:
Количество перестановок мультимножества [math]\{1,1,2,2..n,n\}[/math] со свойством "все элементы перестановки, встречающиеся между двумя вхождниями [math]z[/math] для любого [math]z[/math], больше, чем [math]z[/math]" равно двойному факториалу [math](2n-1)!![/math].


Рекуррентная формула

Числа Эйлера II рода можно выразить рекурсивно следующим образом:

[math] \left\langle \!\! \left\langle {n \atop m} \right\rangle \!\! \right\rangle = (2n-m-1) \left\langle \!\! \left\langle {n-1 \atop m-1} \right\rangle \!\! \right\rangle + (m+1) \left\langle \!\! \left\langle {n-1 \atop m} \right\rangle \!\! \right\rangle, [/math]

С начальным условием для [math]n = 0[/math]:

[math] \left\langle \!\! \left\langle {0 \atop m} \right\rangle \!\! \right\rangle = [m=0]. [/math]

Треугольник чисел Эйлера II рода

Значения чисел Эйлера II рода для [math]0 \le n \le m \le 9[/math] представлены в данном массиве. Нижнедиагональная его часть называется треугольником чисел Эйлера II рода.

m = 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
n = 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0
1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0
2 1 2 0 0 0 0 0 0 0 0
3 1 8 6 0 0 0 0 0 0 0
4 1 22 58 24 0 0 0 0 0 0
5 1 52 328 444 120 0 0 0 0 0
6 1 114 1452 4400 3708 720 0 0 0 0
7 1 240 5610 32120 58140 33984 5040 0 0 0
8 1 494 19950 195800 644020 785304 341136 40320 0 0
9 1 1004 67260 1062500 5765500 12440064 11026296 3733920 362880 0

Ссылки

Источник — «http://neerc.ifmo.ru/wiki/index.php?title=Числа_Эйлера_I_и_II_рода&oldid=34731»