Алгоритмы на деревьях

Диаметр дерева - максимальная длина кратчайшего пути между любыми двумя вершинами. Алгоритм в этой статье находил диаметр в дереве,при чём очень простым алгоритмом.

Алгоритм: Возьмём любую вершину V и найдём расстояния до всех других вершин.

d[v] = max{u, v \in V, u \ne v} dist(u, v)

Возьмём вершину U такую,что d[u] >= d[t] для любого t.Снова найдём расстояние до всех остальных вершин.Самое большое расстояние-диаметр дерева. Расстояние до остальных вершин удобно искать алгоритмом BFS.

Реализация:

void diameter(graph g)              
{
    v = u = w = 0;
    bfs(v); // заполняет массив d[n] расстояниями до всех вершин.
    for(i = 0; i < n; i++)
         if (d[i] > d[u])
              u = i;
    bfs(u);
    for(i = 0; i < n; i++)
          if (d[i] > d[w])
               w = i;
    return d[w];
}

Обоснование корректности: Будем пользоваться свойством,что в любом дереве >= 2 висячих вершин(степерь у них = 1) Докажем вспомогательную лемму: Искомое расстояние - есть расстояние между двумя листами. Доказательство: пусть нет, пусть искомое расстояние - есть расстояние между вершина a, b, где b - не является листом.Т.к. b не является листом, то значит её степень > 1 => из неё существует ребро в непосещенную вершину (дважды посетить вершину b мы не можем). Лемма доказана.

Запустив BFS от произвольной вершины. Мы получим дерево BFS. Теорема. В дереве BFS не существует ребер между вершинами из разных поддеревьев некоторого из общего предка. Доказательство как про дерево DFS.

Мы свели задачу к нахождению вершины v, такой, что сумма глубин поддеревьев максимальна.

Докажем, что одно из искомых поддеревьев содержит самый глубокий лист. Пусть нет, тогда взяв расстояние от v до глубочайшего листа мы можем улучшить ответ.

Таким образом мы доказали, что нам нужно взять наиглубочайшую вершину t после первого bfs, очевидно что ей в пару надо сапоставить вершину p , что dist(t, p) - max . Очевидно, что проблема решается запуском bfs из t.

Оценка производительности: Все операции кроме bfs - О(1) BFS работает линейное время,запускаем мы его 2 раза.Получаем O(V+E)