Обратная матрица

Определение:

Обратная матрица - такая матрица [math]A^{-1}[/math], при умножении на которую, исходная матрица [math]A[/math] даёт в результате единичную матрицу [math]E[/math] [math]\! AA^{-1} = A^{-1}A = E[/math]

Обратимость в алгебре

Определение:

Пусть [math]X[/math] - алгебра над [math]F[/math]. [math]e∈X[/math] называется единицей [math]X[/math], если [math]∀x∈X: e*x=x*e=x[/math], причем [math]e[/math] единственна

Определение:

Пусть в алгебре [math]X: x*y=e[/math], тогда [math]X[/math] называется левым обратным по отношению к [math]y[/math], а [math]y[/math] - правым обратным по отношению к [math]x[/math]

Определение:

Пусть [math]z∈X[/math]. Левый обратный элементу [math]z[/math], являющийся одновременно и правым обратным к нему, называется обратным и обозначается [math]z^{-1}[/math]. При этом сам элемент называется обратимым.

Критерий обратимости матрицы

Теорема:

Квадратная матрица [math]A[/math] обратима (имеет обратную матрицу) тогда и только тогда, когда она невырожденная, то есть [math]\det A \neq 0[/math].

Доказательство:

[math]\triangleright[/math]

определитель НЕ равен нулю Если матрица [math]A[/math] обратима, то [math]AB = E[/math] для некоторой матрицы [math]B[/math]. Тогда, если квадратные матрицы одного и того же порядка, то [math]\det AB = \det A \cdot \det B[/math]: [math]1 = \det E = \det AB = \det A \cdot \det B[/math], следовательно, [math]\det A \neq 0, \det B \neq 0[/math]. Теперь докажем обратное утверждение. Пусть [math]\det A \ne 0[/math]. Положим [math]B = \frac{1}{\det A}A^{*}[/math] Тогда [math]AB = A(\frac{1}{detA}A^{*}) = \frac{1}{detA}(AA^{*})[/math] то есть, [math]A[/math] обратима справа. Поскольку для квадратной матрицы одно и двусторонняя обратимость эквивалентны (Квадратная матрица [math]A[/math] обратима справа тогда и только тогда, когда она обратима слева.), получаем, что [math]A[/math] обратима и [math]A^{-1} = B = \frac{1}{detA}A^{*}[/math] [math]A^{*}[/math] - присоединенная матрица

[math]\triangleleft[/math]

Свойства обратной матрицы

• [math]\det A^{-1} = \frac{1}{\det A}[/math]
• [math]\ (AB)^{-1} = B^{-1}A^{-1}[/math]
• [math]\ (A^T)^{-1} = (A^{-1})^T[/math]
• [math]\ (kA)^{-1} = k^{-1}A^{-1}[/math]

Методы нахождения обратной матрицы

Метод Гаусса для нахождения обратной матрицы

Возьмём две матрицы: саму [math]A[/math] и [math]E[/math]. Приведём матрицу [math]A[/math] к единичной матрице методом Гаусса. После применения каждой операции к первой матрице применим ту же операцию ко второй. Когда приведение первой матрицы к единичному виду будет завершено, вторая матрица окажется равной [math]A^-1[/math].

Пример

Найдем обратную матрицу для матрицы

[math] A = \begin{bmatrix} 2 & -1 & 0 \\ -1 & 2 & -1 \\ 0 & -1 & 2 \end{bmatrix}. [/math]

• 1) Для начала убедимся, что ее определитель не равен нулю(она невырожденная).

• 2) Справа от исходной матрицы припишем единичную.

[math] [ A | I ] = \left[ \begin{array}{rrr|rrr} 2 & -1 & 0 & 1 & 0 & 0\\ -1 & 2 & -1 & 0 & 1 & 0\\ 0 & -1 & 2 & 0 & 0 & 1 \end{array} \right]. [/math]

• 3) Методом Гаусса приведем левую матрицу к единичной, применяя все операции одновременно и к левой, и к правой матрицам.

[math] [ I | B ] = \left[ \begin{array}{rrr|rrr} 1 & 0 & 0 & \frac{3}{4} & \frac{1}{2} & \frac{1}{4}\\[3pt] 0 & 1 & 0 & \frac{1}{2} & 1 & \frac{1}{2}\\[3pt] 0 & 0 & 1 & \frac{1}{4} & \frac{1}{2} & \frac{3}{4} \end{array} \right]. [/math]

• 4) [math]A^{-1} = B[/math]

Метод присоединенной матрицы

[math]A^{-1} = \frac{\widehat{A}^T}{\det A}[/math], где [math] \widehat{A}[/math] — присоединенная матрица;

Определение:

Присоединенная(союзная, взаимная) матрица — матрица, составленная из алгебраических дополнений для соответствующих элементов исходной матрицы.

[math]{C}^{*}= \begin{pmatrix} {A}_{11} & {A}_{12} & \cdots & {A}_{1n} \\ {A}_{21} & {A}_{22} & \cdots & {A}_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ {A}_{n1} & {A}_{n2} & \cdots & {A}_{nn} \\ \end{pmatrix}[/math]

Исходная матрица:

[math]{A}= \begin{pmatrix} {a}_{11} & {a}_{12} & \cdots & {a}_{1n} \\ {a}_{21} & {a}_{22} & \cdots & {a}_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ {a}_{n1} & {a}_{n2} & \cdots & {a}_{nn} \\ \end{pmatrix}[/math]

Где:

• [math]{C}^{*}[/math] — присоединённая(союзная, взаимная) матрица;
• [math]{A}_{ij}[/math] — алгебраические дополнения исходной матрицы;
• [math]{a}_{ij}[/math] — элементы исходной матрицы.

Алгебраическим дополнением элемента [math]\ a_{ij}[/math] матрицы [math]\ A[/math] называется число

[math]\ A_{ij}=(-1)^{i+j}M_{ij}[/math],

где [math]\ M_{ij}[/math] — дополнительный минор, определитель матрицы, получающейся из исходной матрицы [math]\ A[/math] путем вычёркивания i -й строки и j -го столбца.

[math]M_{ij} = det\begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1(j-1)} & a_{1(j+1)} & \cdots & a_{1n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{(i-1)1} & a_{(i-1)2} & \cdots & a_{(i-1)(j-1)} & a_{(i-1)(j+1)} & \cdots & a_{(i-1)n} \\ a_{(i+1)1} & a_{(i+1)2} & \cdots & a_{(i+1)(j-1)} & a_{(i+1)(j+1)} & \cdots & a_{(i+1)n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{n(j-1)} & a_{n(j+1)} & \cdots & a_{nn} \\ \end{pmatrix}[/math]

Алгоритм получения обратной матрицы

• заменить каждый элемент исходной матрицы на его алгебраическое дополнение,
• транспонировать полученную матрицу - в результате будет получена союзная матрица,
• разделить каждый элемент союзной матрицы на определитель исходной матрицы.

[math]A^{-1} = (C^*)^T \times \frac{1}{det A}[/math]

Ссылки

• Обратный оператор

Источники

• Википедия — Обратная матрица

• Википедия — Союзная матрица

• Википедия — Алгебраическое дополнение

• Wikipedia — Invertible matrix