Иммунные и простые множества

Определение:

Множество натуральных чисел [math]A[/math] называется иммунным, если оно не содержит бесконечных перечислимых подмножеств.

Определение:

Множество натуральных чисел [math]A[/math] называется простым, если [math]A[/math] — перечислимое, бесконечное и дополнение [math]A[/math] — иммунное.

Теорема:

Существует простое множество.

Доказательство:

[math]\triangleright[/math]

Рассмотрим все программы. Для некоторого перечислимого языка какая-то из них является его перечислителем. Рассмотрим программу [math]q[/math]: [math]q[/math]: for [math](TL = 1\ \ldots +\infty)[/math] for [math](i = 1\ \ldots TL)[/math] запустить [math]i[/math]-ую в главной нумерации программу на [math]TL[/math] шагов напечатать первый [math]x[/math], который вывела эта программа, такой что [math]x \geqslant 2 i[/math] Обозначим [math]E(q)[/math] — множество, которое перечисляет эта программа. Докажем несколько лемм, из которых будет очевидна правильность утверждения теоремы. Лемма: Для любого перечислимого множества [math]B[/math] существует его элемент, принадлежащий [math]E(q)[/math]. Доказательство: [math]\triangleright[/math] В [math]E(q)[/math] будет содержаться первый элемент множества, [math]B[/math] не превосходящий [math]2 i[/math], где [math]i[/math] — номер перечислителя множества [math]B[/math]. [math]\triangleleft[/math] Лемма: Для любого перечислимого множества [math]B[/math] верно, что [math]B \not \subset \overline{E(q)}[/math]. Доказательство: [math]\triangleright[/math] Cуществует элемент [math]B[/math], принадлежащий [math]E(q)[/math], и, следовательно, не принадлежащий [math]\overline{E(q)}[/math]. [math]\triangleleft[/math] Лемма: [math]\overline{E(q)}[/math] — бесконечно. Доказательство: [math]\triangleright[/math] Среди чисел от [math]1[/math] до [math]k[/math] множеству [math]E(q)[/math] принадлежат не более [math]\frac{k}{2}[/math]. Следовательно [math]\overline{E(q)}[/math] принадлежат не менее [math]\frac{k}{2}[/math] [math]\triangleleft[/math] Вернемся к доказательству теоремы. Получаем: [math]\overline{E(q)}[/math] — иммунно. [math]E(q)[/math] — простое.

[math]\triangleleft[/math]

Литература

• Н. К. Верещагин, А. Шень. Лекции по математической логике и теории алгоритмов. Часть 3. Вычислимые функции. — М.: МЦНМО, 1999. С. 134. ISBN 5-900916-36-7