Ковариация случайных величин

Определение:

Ковариация случайных величин — мера линейной зависимости случайных величин.

Вычисление

Обозначается как [math]cov(\eta, \xi) [/math], где [math]\eta, \xi[/math] - случайные величины.

[math]cov(\eta, \xi) = E(\xi - E\xi)(\eta - E\eta) = E(\xi\eta - \eta E\xi + E\xi E\eta - \xi E\eta) = [/math] [math]E(\xi\eta) - E\xi E\eta - E\xi E\eta + E\xi E\eta = E(\xi\eta) - E\xi E\eta [/math]

Итого, [math]cov(\eta, \xi) = E(\xi\eta) - E\xi E\eta [/math]

Свойства

• Если ковариация [math]cov(\eta, \xi) [/math] отлична от нуля, то величины [math]\eta, \xi[/math] зависимы.
• Величина [math]cov(\eta, \xi) [/math] равняется нулю, если случайные величины [math]\eta, \xi[/math] независимы. С другой стороны, из равенства её нулю вовсе не следует независимость. Эту величину часто используют как «индикатор наличия зависимости» между двумя случайными величинами.
• Если ковариация положительна, то с ростом одной случайной величины, вторая имеет тенденцию возрастать, а если знак отрицательный — то убывать.

Однако только по абсолютному значению ковариации нельзя судить о том, насколько сильно величины взаимосвязаны, так как её масштаб зависит от их дисперсий.

• Ковариация случайной величины с собой равна её дисперсии: [math]cov(\xi, \xi) = D\xi [/math]

Ссылки

• http://www.nsu.ru/mmf/tvims/chernova/tv/lec/node48.html
• Википедия