Нормальная форма Куроды

Определение:

Грамматика представлена в нормальной форме Куроды (англ. Kuroda normal form), если каждое правило имеет одну из четырех форм: [math]AB \rightarrow CD[/math] [math]A \rightarrow BC[/math] [math]A \rightarrow B[/math] [math]A \rightarrow a[/math] или [math]A \rightarrow \varepsilon[/math] Где [math]A, B, C, D[/math] — нетерминалы, [math]a[/math] — терминал.

Данная грамматика названа в честь Куроды (англ. Sige-Yuki Kuroda), который изначально назвал ее линейно ограниченной грамматикой.

Определение:

Грамматика представлена в нормальной форме Пенттонена (англ. Penttonen normal form), если каждое правило имеет одну из трех форм: [math]AB \rightarrow CD[/math] [math]A \rightarrow BC[/math] [math]A \rightarrow a[/math] или [math]A \rightarrow \varepsilon[/math] Где [math]A, B, C, D [/math] — нетерминалы, [math]a[/math] — терминал.

Также грамматику Пенттонена называют односторонней нормальной формой (англ. one-sided normal form). Как можно заметить, она является частным случаем нормальной формы Куроды: когда [math]A = C[/math] в первом правиле определения. Для каждой контестно-зависимой грамматики существует слабо эквивалентная ей грамматика в форме Пенттонена.

Лемма (об удалении терминалов):

Для любой грамматики [math]G = (N, T, P, S)[/math] может быть построена грамматика [math]G' = (N', T, P', S)[/math] такая, что: все правила в [math]P'[/math] имеет вид [math]\alpha \rightarrow \beta[/math] где [math]\alpha \in (N')^+[/math] и [math]\beta \in (N')^*[/math] или [math]A \rightarrow a[/math], где [math]A \in N', a \in T[/math], [math]L(G') = L(G)[/math] Кроме того, если G контекстно-свободна или контекстно-зависима, то и [math]G'[/math] будет соответственно контекстно-свободной или контекстно-зависимой.

Доказательство:

[math]\triangleright[/math]

Каждому терминалу [math]a[/math] поставим в соотвествие новый символ [math]a'[/math], которого нет в [math]N \cup T[/math], такой что [math]a' \neq b'[/math] для разных терминалов [math]a[/math] и [math]b[/math]. Пусть [math]N' = N \cup \{a' | a \in T\}[/math]. Пусть [math]\alpha = x_1x_2...x_n[/math] — часть правила, тогда [math]\alpha' = y_1y_2...y_n[/math], где [math]y_i = \{x_i[/math], если [math]x_i \in N[/math]; [math]x_i'[/math], если [math]x_i \in T\}[/math] для [math]1 \lt = i \lt = n[/math]. Построим грамматику [math]G' = (N', T, P', S)[/math], где [math]P' = \{\alpha' \rightarrow \beta' : \alpha \rightarrow \beta \in P\} \cup \{a' \rightarrow a: a \in T\}[/math]. Покажем, что [math]L(G') = L(G)[/math]. Пусть [math]w \in L(G)[/math]. Тогда в G существует вывод [math]S = w_0 =\gt w_1 =\gt ... =\gt w_n =\gt w[/math]. Согласно конструкции [math]P'[/math], в [math]G'[/math] существует вывод [math]S = w_0' =\gt w_1' =\gt w_2' =\gt ... =\gt w_n' = v_0 =\gt v_1 =\gt v_2 =\gt ... =\gt v_m = w[/math]. Для [math]0 \lt = i \lt = n - 1[/math] в переходах [math]w_i' =\gt w_{i + 1}'[/math] используем правило [math]\alpha' \rightarrow \beta'[/math], так как правило [math]\alpha \rightarrow \beta[/math] было использовано при выводе [math]w_i =\gt w_{i + 1}[/math]. Для [math]0 \lt = j \lt = m - 1[/math] в переходах [math]v_j =\gt v_{j + 1}[/math] используем правила вида [math]a' \rightarrow a[/math]. Заменяем разрешенные в [math]w'[/math] символы на новые и получаем, что [math]w \in L(G')[/math]. Тогда [math]L(G) \lt = L(G')[/math]. Пусть [math]x \in L(G')[/math]. Тогда в [math]G'[/math] существует вывод [math]S =\gt * x[/math]. Мы можем поменять порядок применения правил в этом выводе: сначала применяем только правила вида [math]\alpha' \rightarrow \beta'[/math], а потом только правила вида [math]a' \rightarrow a[/math]. Из построения: после применения правила вида [math]a' \rightarrow a[/math] полученное [math]a[/math] не может быть использовано при применении правил из [math]P'[/math]. Изменение порядка вывода не меняет язык, то есть в [math]G'[/math] существует вывод: [math]S = x_0' =\gt x_1' =\gt ... =\gt x_r' =\gt x' =\gt y_1 =\gt y_2 =\gt ... =\gt y_s = x[/math], где для [math]0 \lt = i \lt = r - 1 x_{i + 1}' \in (N')^*[/math] и в переходе [math]x_i' \rightarrow x_{i + 1}'[/math] было использовано правило вывода [math]\alpha' \rightarrow \beta'[/math] и для [math]1 \lt = j \lt = s[/math] было использовано правило [math]a' \rightarrow a[/math], чтобы получить [math]y_j \rightarrow y_{j + 1}[/math]. Получаем вывод в [math]G[/math]: [math]S = x_0 =\gt x_1 =\gt ... =\gt x_n = x[/math]. Тогда [math]L(G') \lt = L(G)[/math]. Таким образом, [math]L(G') = L(G)[/math]. Очевидно, что если грамматика была неукорочивающейся, то она такой и останется.

[math]\triangleleft[/math]

Лемма (об удалении длинных правил):

Для любой грамматики [math]G = (N, T, P, S)[/math] может быть построена грамматика [math]G' = (N', T, P', S)[/math] такая, что: любое правило из [math]P'[/math] имеет вид: [math]\alpha \rightarrow \beta[/math], где [math]\alpha \in (N')^+[/math] и [math]\beta \in (N')^+[/math] и [math]|\alpha| \lt = |\beta|[/math], или [math]A \rightarrow a[/math], или [math]A \rightarrow \varepsilon[/math], где [math]A \in N'[/math] и [math]a \in T[/math] [math]L(G') = L(G)[/math]

Доказательство:

[math]\triangleright[/math]

Сначала по [math]G[/math] построим грамматику [math]G'' = (N'', T, P'', S)[/math], как в доказательстве леммы 1. По [math]G''[/math] построим грамматику [math]G'[/math], в которой: [math]N' = N'' \cup \{D\}[/math], где [math]D[/math] — новый символ, [math]P'[/math] получаем из [math]P''[/math] заменой всех правил вида [math]\alpha \rightarrow \beta \in P''[/math], где [math]|\alpha| \gt |\beta|[/math] на правила вида [math]\alpha \rightarrow \beta D^{|\alpha| - |\beta|}[/math], и добавлением правила [math]D \rightarrow \varepsilon[/math]. Теперь все правила в [math]P'[/math] имеет требуемую форму. Покажем, что [math]L(G') = L(G)[/math]. Заметим, что замена правила [math]\alpha \rightarrow \beta[/math] на [math]\alpha \rightarrow \beta D^{|\alpha| - |\beta|}[/math] не меняет язык грамматики, потому что дополнительная буква [math]D[/math] запрещается при добавлении перехода [math]D \rightarrow \varepsilon[/math], а других правил для [math]D[/math] нет. Тогда получаем, что [math]L(G) \lt = L(G')[/math], аналогично обратные изменения не меняют язык, то есть [math]L(G') \lt = L(G)[/math].

[math]\triangleleft[/math]

Определение:

Грамматика имеет порядок n, если [math]|\alpha| \lt = n[/math] и [math]|\beta| \lt = n[/math] для любого ее правила [math]\alpha \rightarrow \beta[/math].

Лемма (об уменьшении порядка грамматики):

(Уменьшение порядка грамматики) Для любой грамматики [math]G = (N, T, P, S)[/math] порядка [math]n \gt = 3[/math], такой что: любое правило из [math]P'[/math] имеет вид [math]\alpha \rightarrow \beta[/math], где [math]\alpha \in (N')^+[/math] и [math]\beta \in (N')^+[/math] и [math]|\alpha| \lt = |\beta|[/math] или [math]A \rightarrow a[/math] или [math]A \rightarrow \varepsilon[/math], где [math]A \in N'[/math] и [math]a \in T[/math] может быть построена грамматика [math]G' = (N', T, P', S)[/math] порядка [math]n - 1[/math] такая, что [math]L(G') = L(G)[/math].

Доказательство:

[math]\triangleright[/math]

Разделим [math]P[/math] на три подмножества: [math]P_1 = \{ \alpha \rightarrow \beta | \alpha \rightarrow \beta \in P, |\alpha| \lt = 2, |\beta| \lt = 2 \}[/math], [math]P_2 = \{ \alpha \rightarrow \beta | \alpha \rightarrow \beta \in P, |\alpha| \gt = 2, |\beta| \gt = 3 \}[/math], [math]P_3 = \{ \alpha \rightarrow \beta | \alpha \rightarrow \beta \in P, |\alpha| = 1, |\beta| \gt = 3 \}[/math]. Очевидно, что [math]P = P_1 \cup P_2 \cup P_3[/math]. Построим [math]G'[/math] следующим образом: Если правило [math]p \in P_2[/math], то оно имеет вид [math]AB\alpha' \rightarrow CDE\beta'[/math], где [math]\alpha' \in N^*[/math] и [math]\beta' \in N^*[/math]. Полагаем [math]N_p = \{ A_p, B_p \}[/math], [math]P_p = \{ AB \rightarrow A_pB_p, A_p \rightarrow C, B_p\alpha' \rightarrow DE\beta'\}[/math], где [math]A_p, B_p[/math] — дополнительные символы не из [math]N: \{A_p, B_p\} \cap \{A_q, B_q\} = 0[/math] для разных правил [math]p[/math] и [math]q[/math] из [math]P_2[/math]. Если правило [math]p \in P_3[/math], то оно имеет вид [math]A \rightarrow CDE\beta'[/math], где [math]\beta' \in N^*[/math]. Полагаем [math]N_p = \{B_p \}[/math], [math]P_p = \{A \rightarrow CB_p, B_p \rightarrow DE\beta'\}[/math], где [math]A_p, B_p[/math] — дополнительные символы. Тогда [math]N' = N \bigcup_{p \in (P_2 \cup P_3)} N_p[/math], [math]P' = P_1 \bigcup_{p \in (P_2 \cup P_3)} P_p[/math]. Из построения очевидно, что [math]G'[/math] имеет порядок [math]n - 1[/math]. Покажем, что L(G') = L(G). Сначала докажем, что L(G) <= L(G'). Это следует из того, что: все правила из P_1 применимы к обеим грамматикам, шаг вывода \gamma_1AB\alpha'\gamma_2 => \gamma_1CDE\beta'\gamma_2, благодаря правилу p = AB\alpha \rightarrow CDE\beta' \in P_2 в G, может быть использавано в G' с помощью трех шагов: \gamma_1AB\alpha'\gamma_2 => \gamma_1A_pB_p\alpha'\gamma_2 => \gamma_1CB_p\alpha'\gamma_2 => \gamma_1CDE\beta\gamma_2, с использованием правил из P_p и вывода \gamma_1A\gamma_2 => \gamma_1CDE\beta'\gamma_2 на основе правила p = A\alpha \rightarrow CDE\beta' \in P_3 в G, которое может быть применено в G' с помощью трех шагов вывода: \gamma_1A\alpha1'\gamma_2 => \gamma_1A_pB_p\alpha'\gamma_2 => \gamma_1CB_p\alpha'\gamma_2 => \gamma_1CDE\beta\gamma_2. Таким образом, любой вывод в G может быть преобразован в вывод в G'. Чтобы показать обратное включение, рассмотрим вывод w \in L(G') в G', который содержит применение правил вида AB \rightarrow A_pB_p для какого-то правила p = AB\alpha' \rightarrow CDE\beta' \in P_2 (Заметим, что другие два правила из P_p могут быть применены только если правило AB \rightarrow A_pB_p было применено в этом выводе ранее). Данный вывод имеет вид: (1) S =>* \gamma_1AB\alpha'\gamma_2 => \gamma_1A_pB_p\alpha'\gamma_2 =>(q_1) \gamma_1'A_pB_p\alpha'\gamma_2' => \gamma_1'CB_p\alpha'\gamma_2' =>(q_2) \gamma_1B_p\alpha'\gamma_2 => \gamma_1DE\beta'\gamma_2 =>* w \in T^*, где q_1 — последовательность правил, примененых после AB \rightarrow A_pB_p и до A_p \rightarrow C, которая осуществляет \gamma_1 =>* \gamma_1' и \gamma_2 =>* \gamma_2', где q_2 — последовательность правил, осуществляющих \gamma_1'C =>* \gamma_1 и \gamma_2' =>* \gamma_2. Или (2) S =>* \gamma_1AB\alpha'\gamma_2 => \gamma_1A_pB_p\alpha'\gamma_2 =>(q_1') \gamma_1'A_pB_p\alpha'\gamma_2' => \gamma_1'A_pDE\beta'\alpha'\gamma_2' =>(q_2') \gamma_1A_p\gamma_2 => \gamma_1C\gamma_2 =>* w \in T^*, где q_1' — последовательность правил, которая осуществляет \gamma_1 =>* \gamma_1' и \gamma_2 =>* \gamma_2', где q_2' — последовательность правил, осуществляющих \gamma_1' =>* \gamma_1 и DE\beta'\gamma_2' =>* \gamma_2. Таким образом, существует вывод: S =>* \gamma_1AB\alpha'\gamma_2 => \gamma_1CDE\beta'\gamma_2 => (q_1) \gamma_1'CDE\beta'\gamma_2' => (q_2) \gamma_1DE\beta'\gamma_2 =>* w \in T^*, который получается из (1) заменой правил P_p на применение p = AB\alpha' \rightarrow CDE\beta \in P. Аналогично, в случае (2) мы можем заменить применение P_p на p. Кроме того, это верно и для применения P_q, где q \in P_3. Таким образом, для r \in P_2 U P_3 мы можем заменить все применения P_r на r, то есть получаем вывод w, который состоит только из правил из P. Тогда w \in L(G) и L(G') <= L(G).

[math]\triangleleft[/math]

Теорема:

Любую грамматику G можно преобразовать к грамматике G_K в нормальной форме Куроды, так что L(G) = L(G_K).

Доказательство:

[math]\triangleright[/math]

По лемме 1 построим из G грамматику G', затем по лемме 2 построим из G' грамматику G, Тогда G удовлетворит требованиям леммы 3. Пусть G имеет порядок n. Нсли n = 2, то G в нормальной форме Куроды и G_K = G. Если n >= 3, построим G порядка n - 1 из G по лемме 3. Понятно, что G удовлетворяет условиям леммы 3, будем повторять процесс, пока не получим грамматику порядка 2, которую и примем за G_K.

[math]\triangleleft[/math]