Замкнутость регулярных языков относительно различных операций

Основные операции

Пусть [math]L_1, L_2[/math] - регулярные языки над одним алфавитом [math]\Sigma[/math]. Тогда следующие языки также являются регулярными:

1. [math]L_1 \cup L_2[/math]
2. [math]L_1 L_2[/math]
3. [math]L_1^*[/math]
4. [math]\overline{L_1}[/math]
5. [math]L_1 \cap L_2[/math]
6. [math]L_1 \setminus L_2[/math]
7. [math]\overset{\leftarrow}{L_1}[/math]

Доказательство

Свойства 1,2,3 непосредственно следуют из определения регулярных языков.

При доказательстве дальнейших свойств воспользуемся эквивалентностью регулярных и автоматных языков. Пусть языки [math]L_1[/math] и [math]L_2[/math] распознаются автоматами
[math]A_1 = \langle \Sigma , Q_1 , s_1 , T_1 , \delta_1 : Q_1 \times \Sigma \rightarrow 2^{Q_1} \rangle [/math] и [math]A_2 = \langle \Sigma , Q_2 , s_2 , T_2 , \delta_2 : Q_2 \times \Sigma \rightarrow 2^{Q_2} \rangle [/math] соответственно.

4. Инвертируем множество допускающих состояний: рассмотрим автомат [math]A_1' = \langle \Sigma , Q_1 , s_1 , Q_1 \setminus T_1 , \delta_1 \rangle [/math]. Очевидно, он допускает те и только те слова, которые не допускает автомат [math]A_1[/math].
   При таком построении следует помнить, что если в исходном автомате было опущено дьявольское состояние, его нужно явно добавить и сделать допускающим.

5. Следует из пунктов 1 и 4, т.к. [math]L_1 \cap L_2 = \overline{\overline{L_1} \cup \overline{L_2}}[/math].
   Автомат для пересечения языков можно построить явно, используя конструкцию произведения автоматов:

   [math]A = \langle \Sigma , Q , s , T , \delta : Q \times \Sigma \rightarrow 2^{Q} \rangle [/math], где
   

   [math]Q = \lbrace \langle q_1, q_2 \rangle | q_1 \in Q_1, q_2 \in Q_2 \rbrace[/math]
   

   [math]s = \langle s_1, s_2 \rangle[/math]
   

   [math]T = \lbrace \langle t_1, t_2 \rangle | t_1 \in T_1, t_2 \in T_2 \rbrace[/math]
   

   [math]\delta (\langle q_1,q_2 \rangle, c) = \langle \delta_1 (q_1, c),\delta_2 (q_2, c) \rangle[/math]

6. [math]L_1 \setminus L_2 = L_1 \cap \overline{L_2}[/math]. Соответствующий автомат строится как произведение автоматов для языков [math]L_1[/math] и [math]\overline {L_2}[/math]

7. Развернем все переходы назад и поменяем стартовое состояние с терминальными: рассмотрим НКА c [math]\varepsilon[/math]-переходами [math]A_1' = \langle \Sigma , Q_1 , s' , \lbrace s_1 \rbrace, \delta_1' \rangle [/math], где [math]\delta_1' (v,c) = \lbrace u | \delta_1(u,c) = v \rbrace [/math]; [math]\delta_1'(s', \varepsilon) = T_1[/math].
   Если в исходном автомате путь по [math]\alpha[/math] из [math]s_1[/math] приводил в терминальное состояние, то в новом автомате существует путь по [math]\alpha[/math] из этого терминального состояния в [math]s_1[/math] (и наоборот). Следовательно, этот автомат распознает в точности развернутые слова языка [math]L_1[/math], и из эквивалентности [math]\varepsilon[/math]-НКА и ДКА язык [math]\overset{\leftarrow}{L_1}[/math] - регулярный.

Прямой и обратный гомоморфизмы

Определение:

Отображение [math]\varphi : \Sigma_1^* \to \Sigma_2^*[/math], сохраняющее операцию конкатенации [math](\varphi(\alpha\beta) = \varphi(\alpha) \varphi(\beta))[/math], называется гомоморфизмом.

Гомоморфизм однозначно задается значениями на алфавите: [math]\varphi(\overline{c_1 c_2 \ldots c_k}) = \varphi(c_1) \varphi(c_2)\ldots \varphi(c_k)[/math].

Определение:

Образом языка [math]L \subset \Sigma_1^*[/math] при гомоморфизме [math]\varphi: \Sigma_1^* \rightarrow \Sigma_2^*[/math] называется язык [math]\varphi (L) \overset{\underset{\mathrm{def}}{}}{=} \lbrace \varphi (x) | x \in L \rbrace[/math].

Определение:

Прообразом языка [math]L \subset \Sigma_2^*[/math] при гомоморфизме [math]\varphi: \Sigma_1^* \rightarrow \Sigma_2^*[/math] называется язык [math]\varphi^{-1} (L) \overset{\underset{\mathrm{def}}{}}{=} \lbrace x | \varphi (x) \in L \rbrace[/math].

Утверждение:

[math]L \subset \Sigma_1^*[/math] – регулярный , [math]\varphi:\Sigma_1^* \rightarrow \Sigma_2^* [/math] – гомоморфизм. Тогда [math]\varphi(L)[/math] – регулярный.

[math]\triangleright[/math]

Рассмотрим ДКА, распознающий [math]L[/math]. Заменим в нем все переходы по символам на переходы по их образам при гомоморфизме. Полученный автомат (с переходами по строкам) распознает в точности [math]\varphi(L)[/math] и имеет эквивалентный ДКА.

[math]\triangleleft[/math]

Утверждение:

[math]L \subset \Sigma_2^*[/math] – регулярный , [math]\varphi:\Sigma_1^* \rightarrow \Sigma_2^* [/math] – гомоморфизм. Тогда [math]\varphi^{-1}(L)[/math] – регулярный.

[math]\triangleright[/math]

Рассмотрим ДКА, распознающий [math]L[/math]. Отследим для каждого состояния [math]u[/math] и символа [math]c[/math] строку [math]\varphi(c)[/math]: [math] \langle u,\varphi(c) \rangle \vdash^* \langle v,\varepsilon \rangle[/math] и положим [math]\delta (u,c) = v[/math] в новом автомате (на том же множестве состояний). Автомат с построенной таким образом функцией переходов, очевидно, распознает слова языка [math]\varphi^{-1}(L)[/math] и только их.

[math]\triangleleft[/math]