Квадратичные формы — различия между версиями
Kabanov (обсуждение | вклад) (→Приведение к каноническому виду унитарным преобразованием) |
Kabanov (обсуждение | вклад) (→Закон инерции квадратичной формы) |
||
Строка 71: | Строка 71: | ||
== Закон инерции квадратичной формы == | == Закон инерции квадратичной формы == | ||
+ | {{Теорема | ||
+ | |statement= | ||
+ | Каким бы способ квадратичная форма не была бы приведена, количество положительных, отрицательных и нулевых <tex>\lambda</tex> постоянно. | ||
+ | |||
+ | <tex>n_{+}</tex> | ||
+ | |||
+ | <tex>n_{-}</tex> | ||
+ | |||
+ | <tex>n_{0}</tex> | ||
+ | |||
+ | <tex>(n_{+}, n_{-}, n_{0})</tex> - сигнатура квадратичной формы. | ||
+ | |||
+ | |proof= | ||
+ | Пусть <tex>\Phi(x,x) = \lambda_1|\xi^1|^2+...+\lambda_p|\xi^p|^2+ \lambda_{p+1}|\xi^{p+1}|^2 +...+\lambda_{p+q}|\xi^{p+q}|^2</tex> | ||
+ | |||
+ | <tex>\Phi(x,x) = \widehat{\lambda}_{1}|\xi^{1}|^2 +...+\widehat{\lambda}_{\widehat{p}}|\xi^{\widehat{p}}|^2+\widehat{\lambda}_{\widehat{p}+1}|\xi^{\widehat{p}+1}|^2+...+\widehat{\lambda}_{\widehat{p}+\widehat{q}}|\xi^{\widehat{p}+\widehat{q}}|^2</tex> | ||
+ | |||
+ | <tex>p+q<=dim E=n</tex> | ||
+ | |||
+ | <tex>\lambda_i > 0</tex> для <tex>i=1,...,p</tex> | ||
+ | |||
+ | <tex>\lambda_j < 0 для j=p+1,p+q</tex> | ||
+ | |||
+ | <tex>\widehat{p}+\widehat{q} <= n</tex> | ||
+ | |||
+ | <tex>\widehat{\lambda} > 0 для i=1,...,\widehat{p}</tex> | ||
+ | |||
+ | <tex>\widehat{\lambda} < 0 для j=\widehat{p}+1, \widehat{p}+\widehat{q}</tex> | ||
+ | |||
+ | Надо: <tex>p=\widehat{p}</tex> (?), <tex>q=\widehat{q}</tex> (?) | ||
+ | |||
+ | <tex><- U</tex>: 1) Пусть <tex>p > \widehat{p}</tex>; п.п. <tex>L = </tex>л.о. <tex>\{e_1,...,e_p\}</tex>, <tex>dim L=p</tex> | ||
+ | |||
+ | <tex>\widehat{L} = </tex> л.о. <tex>\{\widehat{e}_{\widehat{p}+1},...,\widehat{e}_{\widehat{p}+\widehat{q}},...,\widehat{e}_n\}</tex> | ||
+ | }} | ||
+ | |||
== Одновременное приведение пары квадратичных форм к сумме квадратов == | == Одновременное приведение пары квадратичных форм к сумме квадратов == |
Версия 17:03, 14 июня 2013
Содержание
[убрать]Основные определения
. Пусть - симметричная билинейная форма, т.е. (1), причем: (т.е. , т.е. симметрична)
. Пусть - эрмитова форма, т.е. (2), где (т.е. , т.е. эрмитова)
Определение: |
Квадратичной формой называется | , полученная взятием
Пример.
Преобразование матрицы квадратичной формы при замене базиса.
С.
(для ) (*)
(для ) (**)
Приведение к каноническому виду методом Лагранжа
Определение: |
: (4) | : (3)
Пример.
Приведение к каноническому виду унитарным преобразованием
Рассмотрим (*)
Рассмотрим
1)
2) из собственных вектором
можно сделать ортонормированный базисПусть
- унитарная
Спектральный анализ
1)
2) Ортонормированный базис из собственных векторов
Закон инерции квадратичной формы
Теорема: |
Каким бы способ квадратичная форма не была бы приведена, количество положительных, отрицательных и нулевых постоянно.
- сигнатура квадратичной формы. |
Доказательство: |
Пусть
для
Надо: (?), (?): 1) Пусть ; п.п. л.о. , л.о. |