Сопряжённый оператор

Эта статья находится в разработке!

Все рассматриваемые далее пространства считаем Банаховыми.

Естественное вложение

$E^*$ — множество линейных непрерывных функционалов над $E$. $E^*$ называют пространством, сопряженным к $E$.

Аналогично, $E^{**}$ — пространство, сопряженное к $E^*$.

Между $E$ и $E^{**}$ существует так называемый естественный изоморфизм, сохраняющий норму точки. TODO: ?

Введем $F_x$ следующим образом: $F_x (f) = f(x), f \in E^{*}$.

$F_x : E^{*} \to \mathbb{R}$, тогда $F_x \in E^{**}$.

Тогда само $F$ отображает $E$ в $E^{**}$.

$F$ линейно: $F_{\alpha x_1 + \beta x_2} = \alpha F_{x_1} + \beta F_{x_2}$.

$| F_x(f) | = |f(x)| \le \| f \| \| x \|$, откуда $\| F_x \| \le \| x \|$.

С другой стороны, по теореме Хана-Банаха, $\forall x_0 \in E, \exists f_0 \in E^*$, что выполняются два условия:

1. $f_0(x_0) = \| x_0 \|$
2. $\| f_0 \| = 1$.

$| F_{x_0} (f_0) | = f_0 (x_0) = \| x_0 \|, \| f_0 \| = 1$, потому получаем, что $\| F_{x_0} \| \ge \| x_0 \| \implies \| F_{x_0} \| = \| x_0 \|$.

Значит, получившееся преобразование $x \mapsto F_x$ — изометрия, $\| x \| = \| F_x \|$, получили естественное вложение $E$ в $E^{**}$.

$E$ называется рефлексивным, если $E$ будет совпадать с $E^{**}$ при таком отображении.

Например, гильбертово пространство $H$ рефлексивно (следует из теоремы Рисса об общем виде линейного функционала).

$C[0, 1]$ — не является рефлексивным.

Сопряженный оператор

Пусть оператор $A$ действует из $E$ в $F$, и функционал $\varphi$ принадлежит $F^*$.

Рассмотрим $f(x) = \varphi (Ax), | f(x) | \le \| \phi \| \| A \| \| x \|$.

Получили новый функционал $f$, принадлежащий $E^*$. $\varphi \mapsto \varphi A$.

$\varphi A = A^* (\varphi), A^* : F^* \to E^*$. $A^*$ — сопряженный оператор к $A$.

Теорема:

Если $A$ — линейный ограниченный оператор, то $\| A^* \| = \| A \|$.

Доказательство:

$\triangleright$

Возьмем $x \in E, \varphi \in F^*$. $| A^* (\varphi, x) | = | \varphi (Ax) | \le \| A \| \| \varphi \| \| x \|$. Получили, что $\| A^* (\varphi) \| \le \| A \| \| \varphi \|$, откуда $\| A*^ \| \le \| A \|$. Для доказательства в обратную сторону используем теорему Хана-Банаха: По определению нормы: $\forall \varepsilon \gt 0 \, \exists x: \| x \| = 1 \implies \| A \| - \varepsilon \lt \| Ax \|$. $Ax \in F$, по теореме Хана-Банаха подберем $\varphi_0 \in F^*, \| \varphi_0 \| = 1: \varphi_0 (Ax) = \| Ax \|$. $\| A^*(\varphi_0, x) \| = | \varphi_0(Ax) | = \| Ax \| \gt \| A \| - \varepsilon$. $\| A^*(\varphi_0, x) \| \le \| A^*(\varphi_0) \| \| x \| = \| A^*(\varphi_0) \| \le \| A^* \| \| \varphi_0 \| = \| A^* \|$. Соединяя эти два неравенства, получаем, что $\forall \varepsilon \gt 0: \| A^* \| \gt \| A \| - \varepsilon$. Устремляя $\varepsilon$ к нулю, получаем, что $\| A^* \| \ge \| A \|$, и, окончательно, $\| A^* \| = \| A \|$.

$\triangleleft$

Примеры сопряженных операторов

Возьмем любое гильбертово пространство $H$, $A : H \to H$.

$\forall \varphi \in H^*$ по теореме Рисса об общем виде линейного функционала в $H$ существует $z : \varphi (y) = \langle y, z \rangle, \| \varphi \| = \| z \|$.

Поскольку $x \mapsto \varphi (Ax)$ также является линейным функционалом $H \to H$, то $\varphi (Ax) = \langle Ax, z \rangle = \langle x, y \rangle$, где $y$ не зависит от $x$.

Имеем отображение $z \mapsto y$, тогда $y = A^*(z)$, и окончательно:

$\langle Ax, z \rangle = \langle x, A^*z \rangle$.

В гильбертовом пространстве $H$ сопряженный оператор — тот оператор, который позволяет писать равенство выше.

Определение:

Оператор $A$ называется самосопряженным, если $A = A^*$

В случае $\mathbb{R}^n$ (частный случай $H$) оператор $A : \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^n$ представляет собой матрицу размером $n \times n$. Сопряженный к $A$ оператор получается транспонированием соответствующей матрицы: $A^* = A^T$. Для симметричной матрицы $A$ получается $A^* = A^T = A$, то есть, если $A$ — симметричная матрица, то $A$ — самосопряженный оператор.

Рассмотрим теперь пространство $E = L_p [0, 1]$.

Пусть $K(u, v) : [0, 1] \times [0, 1] \to \mathbb{R}$ — непрерывная функция на $[0, 1] \times [0, 1]$, $x \in E$.

Интегральный оператор $A$, действующий из $L_p [0, 1]$ в $L_p [0, 1]$ определяется так: $A(x, s) = (Ax)(s) = \int\limits_0^1 K(s, t) x(t) dt$. $Ax \in E$.

Построим сопряженный оператор:

По теореме об общем виде линейного функционала в $L_p$ TODO: ее у нас в курсе не было. КАК НЕ БЫЛО-ТО???777 НИЧЕГО ШТО ЭТО ГИЛЬБЕРТОВО ПРОСТРАНСТВО!!?? -- Вот только $L_p$ не совсем гильбертово, ага? ($p \neq 2$),

$\forall \varphi \in E^*, x \in E: \varphi(x) = \int\limits_0^1 y(t) x(t) dt, y \in L_q$, где $\frac 1p + \frac 1q = 1$ ($p$ и $q$ называются сопряженными показателями).

$L_p^* = L_q$.

$A^*(\varphi, x) = \varphi (Ax) = \int\limits_0^1 y(s) (Ax)(s) ds = \int\limits_0^1 y(s) (\int\limits_0^1 K(s, t) x(t) dt) ds =$ (по теореме Фубини поменяем порядок интегрирования) $= \int\limits_0^1 ( \int\limits_0^1 K(s, t) y(s) ds) x(t) dt$

Получили, что $A^*(\varphi, x) = \int\limits_0^1 ( \int\limits_0^1 K(s, t) y(s) ds) x(t) dt$. Обозначим $z(t) = \int\limits_0^1 K(s, t) y(s) ds$, тогда $A^* (\varphi) \equiv z$, аналогично $\varphi \equiv y$.

$A^*$ — интегральный оператор из $L_q$, имеющий ядро $K^*(s, t) = K(t, s)$. В частности, если ядро симметрично ($K(s, t) = K(t, s)$), и $k = 2$, то $A = A^*$

Ортогональное дополнение

Важное значение имеет ортогональное дополнение (в любом нормированном пространстве):

$E$ — НП, $S \subset E^*$.

$S^{\bot} = \{ x \in E \mid \forall f \in S: f(x) = 0 \}$ — ортогональное дополнение $S \subset E^*$.

Аналогично определяется для $T \subset E : T^{\bot} = \{ f \in E^* \mid \forall x \in T: f(x) = 0 \}$.

Утверждение:

$\{ 0 \} = (E^*)^{\bot}, \{ 0 \} = E^{\bot}$.

$\triangleright$

Оба включения $\subset$ очевидны по определению. В обратную сторону: Пусть $x \in (E^*)^{\bot}$, тогда $\forall f \in E^*: f(x) = 0$ Предположим, что $x \neq 0$, тогда по теореме Хана-Банаха, $\exists f: f(x) = \| x \| \neq 0$, получили противоречие, что $x \in (E^*)^{\bot}$. Второе включение в обратную сторону доказывается аналогично.

$\triangleleft$

Теоремы о замыкании множества значений оператора

Теорема 1

Теорема:

$A \in \mathcal{L}(E,F) \implies \operatorname{Cl} R(A) = (\operatorname{Ker} A^*)^\perp$.

Теорема 2

Теорема:

$A \in \mathcal{L}(E,F),~R(A) = \operatorname{Cl} R(A) \implies R(A^*) = (\operatorname{Ker} )^\perp$.