Конечная группа

Эта статья требует доработки!

1. Не надо приводить таблицы умножения изоморфных групп. Группы, таблицы умножения которых приведены в статье, надо "расшифровать". Они все являются группами из примеров групп.
2. (исправлено)Надо убрать алгоритм построения.
3. Надо привести некоторые свойства конечных групп: все группы простого порядка [math]p[/math] изоморфны [math]\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}[/math], в простой группе порядок каждого элемента является делителем порядка группы. Свойства надо доказать.

Если Вы исправили некоторые из указанных выше замечаний, просьба дописать в начало соответствующего пункта (Исправлено).

Определение:

Группа называется конечной, если множество ее элементов конечно. Мощность множества элементов группы [math]G[/math] называют порядком группы и обозначают [math]\vert G\vert[/math].

Таблицы умножения для конечных групп

Таблица умножения(таблица Кэли) — таблица, которая описывает структуру конечных алгебраических систем с одной бинарной операцией. Таблица позволяет определить, является ли группа абелевой, найти ядро группы и обратные элементы по отношению к другим элементам в этой группе.

Структура

Пусть [math]\mathbb{A}_n[/math] = [math]\{a_1,a_2,\dots,a_n\}[/math] - группа из n элементов.

Тогда таблица будет выглядеть следующим образом:

*	a1	a2	...	an
a1	a1a1	a1a2	...	a1an
a2	a2a1	a2a2	...	a2an
...	...	...	...	...
an	ana1	ana2	...	anan

Свойства

Утверждение:

Каждая строка или столбец являются перестановкой элементов группы

[math]\triangleright[/math]

Пусть [math]a,b,c,d \in G[/math]. Тогда [math]ab=d[/math] и [math]ac=d \Rightarrow b=c[/math]. Так как количество клеток в строке равно количеству элементов, то, по принципу Дирихле, каждый элемент группы встречается в строке один раз.

[math]\triangleleft[/math]

Утверждение:

Если таблица симметрична относительно главной диагонали, то операция умножения коммутативна

[math]\triangleright[/math]

Таблица симметрична [math]\Rightarrow ab = ba[/math] для любых [math]a,b \in G[/math]

[math]\triangleleft[/math]

Утверждение:

Все группы простого порядка [math]p[/math] изоморфны [math]\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}[/math]

[math]\triangleright[/math]

темп

[math]\triangleleft[/math]

Утверждение:

В простой группе порядок каждого элемента является делителем порядка группы

[math]\triangleright[/math]

Рассмотрим элемент [math]x[/math] c порядком [math]n[/math]. Тогда подмножество [math]\langle x\rangle=\lbrace e,\,x,\,x^2,\,...\rbrace[/math]

[math]\triangleleft[/math]

Примеры таблиц умножения для конечных групп

Ниже перечислены все группы до шестого порядка включительно:

1) n = 1

*	e
e	e

2) n = 2

[math]\mathbb{Z}_2[/math]
+	0	1
0	0	1
1	1	0

3) n = 3

[math]\mathbb{Z}_3[/math]
+	0	1	2
0	0	1	2
1	1	2	0
2	2	0	1

4) n = 4

[math]\mathbb{Z}_4[/math]
+	0	1	2	3
0	0	1	2	3
1	1	0	3	2
2	2	3	0	1
3	3	2	1	0

[math]\mathbb{Z}_2\times\mathbb{Z}_2[/math]
+	(0,0)	(0,1)	(1,0)	(1,1)
(0,0)	(0,0)	(0,1)	(1,0)	(1,1)
(0,1)	(0,1)	(0,0)	(1,1)	(1,0)
(1,0)	(1,0)	(1,1)	(0,0)	(0,1)
(1,1)	(1,1)	(1,0)	(0,1)	(0,0)

5) n = 5

[math]\mathbb{Z}_2[/math]
+	0	1	2	3	4
0	0	1	2	3	4
1	1	2	3	4	0
2	2	3	4	0	1
3	3	4	0	1	2
4	4	0	1	2	3

6) n = 6

[math]\mathbb{Z}_6[/math]
+	0	1	2	3	4	5
0	0	1	2	3	4	5
1	1	2	3	4	5	0
2	2	3	4	5	0	1
3	3	4	5	0	1	2
4	4	5	0	1	2	3
5	5	0	1	2	3	4

[math]\mathbb{S}_3[/math]
*	e	a	aa	b	c	d
e	e	a	aa	b	c	d
a	a	aa	e	c	d	b
aa	aa	e	a	d	b	c
b	b	d	c	e	aa	a
c	c	b	d	a	e	aa
d	d	c	b	aa	a	e

Для группы [math]\mathbb{S}_3[/math] [math]a[/math] - это циклическая перестановка [math](123)\rightarrow(231)[/math], а [math]b,\,c,\,d[/math] - транспозиции [math](123)\rightarrow(213),\,(123)\rightarrow(132),\,(123)\rightarrow(321)[/math] соответственно.