Характеристика перечислимых множеств через вычислимые функции — различия между версиями

Материал из Викиконспекты
Перейти к: навигация, поиск
(→‎Литература)
Строка 1: Строка 1:
 
{{Определение
 
{{Определение
−
|definition=Множество <tex>X</tex> называется перечислимым, если выполняется хотя бы одно условие из приведенных ниже:
+
|definition='''Множество <tex>X</tex> называется перечислимым''', если выполняется хотя бы одно из условий:
−
# существует программа, перечисляющая все элементы <tex>X</tex> в произвольном порядке.
+
# существует программа, перечисляющая все элементы <tex>X</tex> в произвольном порядке;
−
# <tex>X</tex> является областью определения [[Вычислимые функции|вычиcлимой функции]] <tex>f</tex>.
+
# <tex>X</tex> является областью определения [[Вычислимые функции|вычиcлимой функции]] <tex>f</tex>;
−
# <tex>X</tex> является областью значений [[Вычислимые функции|вычиcлимой функции]] <tex>f</tex>.
+
# <tex>X</tex> является областью значений вычиcлимой функции <tex>f</tex>;
−
# Функция <tex>f_X(x) = \begin{cases}
+
# функция <tex>f_X(x) = \begin{cases}
 
   1, & x \in X \\
 
   1, & x \in X \\
 
   \bot, & x \notin X  
 
   \bot, & x \notin X  
Строка 18: Строка 18:
 
Пусть <tex>p</tex> — программа, перечисляющая <tex>X</tex>.
 
Пусть <tex>p</tex> — программа, перечисляющая <tex>X</tex>.
  
−
Приведем программу <tex>q</tex>, вычисляющую функцию <tex>f_X(x):</tex>
+
Приведем программу <tex>q</tex>, вычисляющую функцию <tex>f_X(x)</tex>:
  
−
  <tex>q(x)</tex>
+
  <tex>q(x):</tex>
 
     '''for''' <tex>k = 1 \ .. \ \infty</tex>
 
     '''for''' <tex>k = 1 \ .. \ \infty</tex>
 
         '''if''' <tex> p(k) == x </tex>
 
         '''if''' <tex> p(k) == x </tex>
Строка 26: Строка 26:
  
  
−
*2 <tex>\Rightarrow</tex> 1, 3 <tex>\Rightarrow</tex> 1
+
*2 <tex>\Rightarrow</tex> 1
  
−
Пусть <tex>X</tex> — область определения [[Вычислимые функции|вычислимой функции]] <tex>f</tex>, вычисляемой программой <tex>p</tex>.
+
Пусть <tex>X</tex> — область определения вычислимой функции <tex>f</tex>, вычисляемой программой <tex>p</tex>.  
−
 
 
−
Введем обозначение: <tex>p(x)|_{TL}</tex> — программа <tex>p(x)</tex>,  запускаемая на <tex>TL</tex> секунд. Если <tex>p(x)|_{TL}</tex> за <tex>TL</tex> секунд так и не вернула значение, то считаем, что это значение равно <tex>\bot</tex>.
 
  
 
Тогда <tex>X</tex> перечисляется такой программой:
 
Тогда <tex>X</tex> перечисляется такой программой:
  
−
  <tex>q()</tex>
+
  <tex>q():</tex>
 
     '''for''' <tex> TL = 1 \ .. \ \infty </tex>  
 
     '''for''' <tex> TL = 1 \ .. \ \infty </tex>  
 
         '''for''' <tex> k = 1 \ ..\ TL</tex>
 
         '''for''' <tex> k = 1 \ ..\ TL</tex>
Строка 40: Строка 38:
 
                 '''print'''<tex>(k)</tex>
 
                 '''print'''<tex>(k)</tex>
  
−
Если print<tex>(k)</tex> заменить на print(<tex>p(k)|_{TL}</tex>), то <tex>q</tex> станет перечислять область значений <tex>f(x)</tex>.
+
*3 <tex>\Rightarrow</tex> 1
 +
 
 +
Пусть <tex>X</tex> — область значений вычислимой функции <tex>f</tex>, вычисляемой программой <tex>p</tex>.
 +
 
 +
Тогда <tex>X</tex> перечисляется такой программой:
 +
 
 +
<tex>q():</tex>
 +
    '''for''' <tex> TL = 1 \ .. \ \infty </tex>
 +
        '''for''' <tex> k = 1 \ ..\ TL</tex>
 +
            '''if''' <tex>p(k)|_{TL} \neq \bot </tex>
 +
                '''print'''<tex>(p(k)|_{TL})</tex>
  
  
Строка 49: Строка 57:
 
Введем новую функцию <tex>g(x) = x</tex>, если <tex>f_X(x) \neq \bot</tex>.  
 
Введем новую функцию <tex>g(x) = x</tex>, если <tex>f_X(x) \neq \bot</tex>.  
  
−
Очевидно, она вычислима, и ее область определения и область значений совпадают с <tex>X</tex>.
+
Очевидно, что она вычислима и что ее область определения и область значений совпадают с <tex>X</tex>.
  
 
}}
 
}}

Версия 10:01, 25 декабря 2011

Определение:
Множество [math]X[/math] называется перечислимым, если выполняется хотя бы одно из условий:
  1. существует программа, перечисляющая все элементы [math]X[/math] в произвольном порядке;
  2. [math]X[/math] является областью определения вычиcлимой функции [math]f[/math];
  3. [math]X[/math] является областью значений вычиcлимой функции [math]f[/math];
  4. функция [math]f_X(x) = \begin{cases} 1, & x \in X \\ \bot, & x \notin X \end{cases}[/math] — вычислима.


Теорема:
Определения 1, 2, 3, 4 эквивалентны.
Доказательство:
[math]\triangleright[/math]
  • 1 [math]\Rightarrow[/math] 4

Пусть [math]p[/math] — программа, перечисляющая [math]X[/math].

Приведем программу [math]q[/math], вычисляющую функцию [math]f_X(x)[/math]: 

[math]q(x):[/math]
    for [math]k = 1 \ .. \ \infty[/math]
        if [math] p(k) == x [/math]
            return 1


  • 2 [math]\Rightarrow[/math] 1

Пусть [math]X[/math] — область определения вычислимой функции [math]f[/math], вычисляемой программой [math]p[/math].

Тогда [math]X[/math] перечисляется такой программой: 

[math]q():[/math]
    for [math] TL = 1 \ .. \ \infty [/math] 
        for [math] k = 1 \ ..\ TL[/math]
            if [math]p(k)|_{TL} \neq \bot [/math]
                print[math](k)[/math]
  • 3 [math]\Rightarrow[/math] 1

Пусть [math]X[/math] — область значений вычислимой функции [math]f[/math], вычисляемой программой [math]p[/math].

Тогда [math]X[/math] перечисляется такой программой: 

[math]q():[/math]
    for [math] TL = 1 \ .. \ \infty [/math] 
        for [math] k = 1 \ ..\ TL[/math]
            if [math]p(k)|_{TL} \neq \bot [/math]
                print[math](p(k)|_{TL})[/math]


  • 4 [math]\Rightarrow[/math] 2, 4 [math]\Rightarrow[/math] 3

Пусть дана [math]f_X(x)[/math].

Введем новую функцию [math]g(x) = x[/math], если [math]f_X(x) \neq \bot[/math].

Очевидно, что она вычислима и что ее область определения и область значений совпадают с [math]X[/math].
[math]\triangleleft[/math]

Литература

  • Н. К. Верещагин, А. Шень. Лекции по математической логике и теории алгоритмов. Часть 3. Вычислимые функции. — М.: МЦНМО, 1999. С. 134. ISBN 5-900916-36-7
Источник — «http://neerc.ifmo.ru/wiki/index.php?title=Характеристика_перечислимых_множеств_через_вычислимые_функции&oldid=15214»