Определитель линейного оператора. Внешняя степень оператора.

Определитель линейного оператора

Определение:

Пусть [math]\mathcal{A} \colon X \to X[/math] линейный оператор в некотором базисе [math]\left\{ e \right\}_{i = 1}^{n}\[/math] линейного пространства [math]X[/math] над полем [math]F[/math]. Тогда определителем линейного оператора [math]\mathcal{A}[/math] называется детерминант [матрицы линейного оператора].

Определение:

Пусть [math]\mathcal{A} \colon X \to X[/math] — автоморфизм. Тогда [math]det||A|| = det\{\mathcal{A}e_1, \mathcal{A}e_2, ... , \mathcal{A}e_n\} = \sum\limits_{(j_1,j_2,...,j_n)} (-1)^{[j_1,j_2,...,j_n]}(\alpha_{j_1}^1\alpha_{j_2}^2...\alpha_{j_n}^n). [/math]

Лемма:

Пусть [math]\mathcal{A} \colon X \to X[/math] — автоморфизм в [math]\left\{ e \right\}_{i = 1}^{n}\ \Leftrightarrow [/math] [math] A = ||\alpha_{k}^i|| [/math], то есть [math](\mathcal{A}e_k)^i = \alpha_{n}^i, [/math] [math] \mathcal{A}e_k = \sum \alpha_{k}^ie_i [/math]. Тогда [math] det\mathcal{A} = detA = det||\alpha_{k}^i||[/math]

Внешняя степень оператора

Определение:

Пусть [math]\mathcal{A} \colon X \to X[/math] — автоморфизм. Внешней степенью линейного оператора называется отображение [math]\mathcal{A}^{\wedge_p} \colon \wedge_p \to \wedge_p [/math] по формуле [math] \mathcal{A}^{\wedge_p}(e_{i_1} \wedge e_{i_2} \wedge ... \wedge e_{i_n}) = \mathcal{A}e_{i_1} \wedge \mathcal{A}e_{i_2} \wedge ... \wedge \mathcal{A}e_{i_n}[/math] и на остальные поливектора распределяется по линейности.

Теорема:

Для [math]\forall (x_1 \wedge x_2 \wedge ... \wedge x_p) [/math], верно что [math]\mathcal{A}^{\wedge_p}(e_{i_1} \wedge e_{i_2} \wedge ... \wedge e_{i_n}) = \mathcal{A}x_1 \wedge \mathcal{A}x_2 \wedge ... \wedge \mathcal{A}x_p [/math]

Доказательство:

[math]\triangleright[/math]

Рассмотрим : [math]\mathcal{A}^{\wedge_p}(x_i \wedge e_{i_2} \wedge ... \wedge e_{i_n}) = \mathcal{A}^{\wedge_p}((\sum_{i=1}^{n}\xi^ie_{i_1}) \wedge e_{i_2} \wedge ... \wedge e_{i_p}) = \sum_{i=1}^{n}\xi^i\mathcal{A}^{\wedge_p}(e_{i_1}\wedge ... \wedge e_{i_n}) = \mathcal{A}(\sum_{i=1}^{n}\xi^ie_i)\wedge \mathcal{A}e_{i_2} \wedge ... \wedge \mathcal{A}e_{i_n} = \mathcal{A}x \wedge \mathcal{A}e_{i_2}\ \wedge ... \wedge \mathcal{A}e_{i_p}[/math].

[math]\triangleleft[/math]

Теорема:

Пусть [math]\forall z \in \bigwedge_n (n = dimX) [/math] верно [math] \mathcal{A}^{\wedge_n}z = detA z[/math]

Доказательство:

[math]\triangleright[/math]

Пусть [math] z = e_1 \wedge e_2 \wedge ... \wedge e_n = F_{1, 2, ..., n} [/math], то есть [math]\mathcal{A}^{\wedge_{n}^{*}}z = \mathcal{A}^{\wedge_{n}^{*}}e_1 \wedge e_2 \wedge ... \wedge e_n = detAe_1 \wedge e_2 \wedge ... \wedge e_n [/math].

[math]\triangleleft[/math]

Лемма:

[math] detA [/math] не зависит от базиса. [math]det\mathcal{A} = detA [/math] — инвариант линейного оператора