Сингулярное разложение

Сингулярное разложение — декомпозиция вещественной матрицы с целью ее приведения к каноническому виду.

Свойства

Пусть [math] F [/math] — [math] l \times n [/math] матрица. Тогда [math] F [/math] можно представить в следующем виде:

[math] F = V D U^T [/math].

Основные свойства сингулярного разложения:

• [math] l \times n [/math]-матрица [math] V = (v_1, \dots, v_n) [/math] ортогональна, [math] V^T V = I_n [/math],
  столбцы [math] v_j [/math] — собственные векторы матрицы [math] F F^T [/math];
• [math] n \times n [/math]-матрица [math] U = (u_1, \dots, u_n) [/math] ортогональна, [math] U^T U = I_n [/math],
  столбцы [math] u_j [/math] — собственные векторы матриц [math] F^T F [/math];
• [math] n \times n [/math]-матрица [math] D [/math] диагональна, [math] D = diag(\sqrt{\lambda_1}, \dots, \sqrt{\lambda_n}) [/math],
  [math] \lambda_j \geq 0 [/math] — собственные значения матриц [math] F^T F [/math] и [math] F F^T [/math],
  [math] \sqrt{ \lambda_j } [/math] — сингулярные числа матрицы [math] F [/math].