Симуляция одним распределением другого — различия между версиями
| Строка 10: | Строка 10: | ||
==Симуляция распределений== | ==Симуляция распределений== | ||
| − | Рассмотрим следуйщий случай. Допустим, у нас есть чесная монета. А нам надо получить распределения с вероятностьями <tex>1/3</tex>. Проведем слдующий эксперимент. Подкинем монету дважды. И если выпадет два раза орел - повторим | + | Рассмотрим следуйщий случай. Допустим, у нас есть чесная монета. А нам надо получить распределения с вероятностьями <tex>1/3</tex>. Проведем слдующий эксперимент. Подкинем монету дважды. И если выпадет два раза орел - эксперимент не удался, повторим его. |
По формуле условной вероятности (при условии, что как минимум одна монета выпала решкой) | По формуле условной вероятности (при условии, что как минимум одна монета выпала решкой) | ||
: <tex dpi = "140">{p}(A \mid B) = </tex> <tex dpi = "140"> \frac{{p}(A\cap B)}{{p}(B)}</tex>. | : <tex dpi = "140">{p}(A \mid B) = </tex> <tex dpi = "140"> \frac{{p}(A\cap B)}{{p}(B)}</tex>. | ||
| − | Предположим, что у нас есть последовательность экспериментов. Вероятность успеха <tex dpi = "140">p = \frac{ | + | Предположим, что у нас есть последовательность экспериментов. Вероятность успеха <tex dpi = "140">p = \frac{3}{4}</tex>. Вероятность неудачи <tex dpi = "140">q = 1 - p = \frac{1}{4}</tex> Сколько экспериментов будет проведено до того, как будет достигнут успех? Пусть случайная величина <tex>X</tex> равна количествуэкспериментов, необходимых для достижения успеха. Тогда <tex>X</tex> принимает значения <tex>\{1,2,...\}</tex> и для <tex> k \ge 1 </tex> |
: <tex dpi = "140">{p}(X = k) = q^{k-1}p,</tex> | : <tex dpi = "140">{p}(X = k) = q^{k-1}p,</tex> | ||
поскольку перед наступлением успешного эксперимента было проведено <tex> k - 1 </tex> неуспешных. Распределение вероятности, удовлетворяющее этому уравнению называется геометрическим распределением. | поскольку перед наступлением успешного эксперимента было проведено <tex> k - 1 </tex> неуспешных. Распределение вероятности, удовлетворяющее этому уравнению называется геометрическим распределением. | ||
Так как <tex> q < 1 </tex> можно посчитать математическое ожидание геометрического распределения. | Так как <tex> q < 1 </tex> можно посчитать математическое ожидание геометрического распределения. | ||
| − | : <tex dpi = "140">E(X) = \sum\limits_{k = 0}^{\infty}kq^{k-1}p = \frac{p}{q}\sum\limits_{k = 0}^{\infty}kq^{k} = \frac{p}{q} \frac{q}{(1 - p)^{2}} = \frac{1}{p} =\frac{1}{\frac{ | + | : <tex dpi = "140">E(X) = \sum\limits_{k = 0}^{\infty}kq^{k-1}p = \frac{p}{q}\sum\limits_{k = 0}^{\infty}kq^{k} = \frac{p}{q} \frac{q}{(1 - p)^{2}} = \frac{1}{p} =\frac{1}{\frac{3}{4}} = \frac{4}{3}. </tex> |
Дисперсия вычисляется аналогично. | Дисперсия вычисляется аналогично. | ||
| − | : <tex dpi = "140">D(X) = \frac{q}{p^{2}} </tex> | + | : <tex dpi = "140">D(X) = \frac{q}{p^{2}} = \frac{4}{9} </tex> |
| − | + | ||
| − | |||
==См. также== | ==См. также== | ||
| − | + | *[[Условная вероятность]] | |
| − | + | *[[Дискретная случайная величина]] | |
| + | *[[Дисперсия случайной величины]] | ||
==Литература== | ==Литература== | ||
| − | + | *Боровков А.А. Математическая статистика: оценка параметров, проверка гипотез. - М., Физматлит, 1984. - 472 с. | |
| + | *[http://sheen.me/books/spec/apia.djvu Т. Кормен, Ч. Лейзерсон, Р. Ривест, К. Штайн - Алгоритмы. Построение и анализ] | ||
Версия 15:15, 14 января 2011
Содержание
Распределение
Распределение — одно из основных понятий теории вероятностей и математической статистики. Распределение вероятностей какой-либо случайной величины задается в простейшем случае указанием возможных значений этой величины и соответствующих им вероятностей, в более сложных — т. н. функцией распределения или плотностью вероятности.
Примеры распределений
- Биномиальное распределение
- Нормальное распределение
- Равномерное распределение
Симуляция распределений
Рассмотрим следуйщий случай. Допустим, у нас есть чесная монета. А нам надо получить распределения с вероятностьями . Проведем слдующий эксперимент. Подкинем монету дважды. И если выпадет два раза орел - эксперимент не удался, повторим его. По формуле условной вероятности (при условии, что как минимум одна монета выпала решкой)
- .
Предположим, что у нас есть последовательность экспериментов. Вероятность успеха . Вероятность неудачи Сколько экспериментов будет проведено до того, как будет достигнут успех? Пусть случайная величина равна количествуэкспериментов, необходимых для достижения успеха. Тогда принимает значения и для
поскольку перед наступлением успешного эксперимента было проведено неуспешных. Распределение вероятности, удовлетворяющее этому уравнению называется геометрическим распределением. Так как можно посчитать математическое ожидание геометрического распределения.
Дисперсия вычисляется аналогично.
См. также
Литература
- Боровков А.А. Математическая статистика: оценка параметров, проверка гипотез. - М., Физматлит, 1984. - 472 с.
- Т. Кормен, Ч. Лейзерсон, Р. Ривест, К. Штайн - Алгоритмы. Построение и анализ
