Левосторонние красно-чёрные деревья

Определение:

Левосторонние красно-черные деревья — двоичные деревья поиска, в котором баланс осуществляется на основе "цвета" узла дерева, который принимает только два значения: "красный" и "чёрный". Данный тип красно-черных деревьев имеет ряд преимуществ над классической структурой. Разработан Робертом Соджевиском в [math]2008[/math] году.

Вращения

Чтобы поддерживать левосторонние красно-черные двоичные деревья поиска необходимо соблюдать следующие инварианты при вставке и удалении:

• Ни один путь от корня до листьев дерева не содержит двух последовательных красных узлов.
• Количество черных узлов на каждом таком пути одинаково.

Из этих инвариантов следует, что длина каждого пути от корня до листьев в красно-черном дереве с [math]N[/math] узлами не превышает [math]2 \cdot \log(N)[/math] .

Основные операции, используемые алгоритмами сбалансированного дерева для поддержания баланса при вставке и удалении, называются вращениями. Эти операции трансформируют [math]3[/math]-узел, левый потомок которого окрашен в красный, в [math]3[/math]-узел, правый потомок которого окрашен в красный и наоборот. Вращения сохраняют два указанных выше инварианта, не изменяют поддеревья узла.

Псевокод

Rotate Right

  Node rotateRight(h : Node) 
      x = h.left
      h.left= x.right
      x.right= h
      x.color = h.color
      h.color = RED
   return x

Rotate Left

  Node rotateLeft(h : Node) 
      x = h.right
      h.right = x.left
      x.left = h
      x.color = h.color
      h.color = RED
  return x

Переворот цветов

В красно-черных деревьях используется такая операция как Переворот цветов , которая инвертирует цвет узла и двух его детей. Она не изменяет количество черных узлов при любом обходе от корня до листьев дерева, но может привести к появлению двух последовательных красных узлов.

Переворот цветов

 void flipColors(h : Node h) 
      h.color = ! h.color
      h.left.color =  ! h.left.color
      h.right.color = [math] ![/math] h.right.color

Вставка

Вставка в ЛСКЧД базируется на [math]4[/math] простых операциях:

• Вставка нового узла к листу дерева:

Если высота узла нулевая, возвращаем новый красный узел.

Вставка нового узла

 if (h == null)
      return new Node(key, value, RED)

• Расщепление узла с [math]4[/math]-я потомками:

Если левый предок и правый предок красные, запускаем вращение цветов от текущего узла.

Расщепление узла

 if (isRed(h.left) && isRed(h.right))
     colorFlip(h)

• Принудительное вращение влево:

Принудительное вращение

Если правый предок красный, вращаем текущую вершину влево.

 if (isRed(h.right))
     h = rotateLeft(h)

• Балансировка узла с [math]4[/math]-я потомками:

Балансировка

Если левый предок красный и левый предок левого предка красный, то вращаем текущую вершину вправо.

 if (isRed(h.left) && isRed(h.left.left))
     h = rotateRight(h)
  

Псевдокод

 void insert(key : Key, value : Value ) 
        root = insert(root, key, value)
        root.color = BLACK

 Node insert(h : Node, key : Key, value : Value)
      // Вставка нового узла к листу дерева
     if (h == null)     
         return new Node(key, value)
      // Расщепление узла с [math]4[/math]-я потомками
     if (isRed(h.left) && isRed(h.right))
         colorFlip(h)
      // Стандартная вставка в дереве поиска
     int cmp = key.compareTo(h.key) 
     if  (cmp == 0)
         h.val = value
     else 
         if cmp < 0 
             h.left = insert(h.left, key, value)  
         else 
             h.right = insert(h.right, key, value)
          // Принудительное вращение влево
         if (isRed(h.right) && !isRed(h.left))
             h = rotateLeft(h)
          // Балансировка узла с [math]4[/math]-я потомками
         if (isRed(h.left) && isRed(h.left.left))
             h = rotateRight(h)
 return h

Поиск

Поиск в левосторонних красно-черных деревьях эквивалентен поиску в наивной реализации дерева поиска. Для поиска элемента в красно-черных деревьях дереве поиска можно воспользоваться циклом,который проходит от вершины до искомого элемента. Если же элемент отсутствует, цикл пройдет до листа дерева и прервется. Для каждого узла цикл сравнивает значение его ключа с искомым ключом. Если ключи одинаковы, то функция возвращает текущий узел, в противном случае цикл повторяет для левого или правого поддерева. Узлы, которые посещает функция образуют нисходящий путь от корня, так что время ее работы [math]O(h)[/math], где [math]h[/math] — высота дерева.

Псевдокод

Value search(key : Key)
    Node x = root
    while (x != null)
      int cmp = key.compareTo(x.key)
      if (cmp == 0)
          return x.val
      else
          if (cmp < 0)
              x = x.left
      else 
          if (cmp > 0) 
              x = x.right
return null

Удаление

Исправление правых красных связей

• Использование Переворота цветов и вращений сохраняет баланс черной связи.
• После удаления необходимо исправить правые красные связи и устранить узлы с [math]4[/math]-я потомками

      // Исправление правых красных связей
  Node fixUp(h : Node)  
      if (isRed(h.right))  
          h = rotateLeft(h)  
      // Вращение [math]2[/math]-ой красной пары пары
      if (isRed(h.left) && isRed(h.left.left))
          h = rotateRight(h)  
      // Балансировка узла с [math]4[/math]-я потомками
      if (isRed(h.left) && isRed(h.right))
          colorFlip(h)  
  return h

Удаление максимума

• Спускаемся вниз по правому краю дерева.
• Если поиск заканчивается на узле с [math]4[/math]-мя или [math]5[/math]-ю потомками, просто удаляем узел.

Узлы до и после удаления

• Удаление узла с [math]2[/math]-я потомками нарушает баланс

Соответственно, спускаясь вниз по дереву необходимо поддерживать следующий инвариант : количество потомков узла не должно быть ровно [math]2[/math]-м.

Будем поддерживать инвариант: для любого узла либо сам узел, либо правый предок узла красный. Будем придерживаться тактики , что удалять лист легче, чем внутренний узел.

Заметим, что если правый потомок вершины и правый потомок правого потомка вершины черные, необходимо переместить левую красную ссылку вправо для сохранения инварианта.

Перемещение красной ссылки. Простой случай

Перемещение красной ссылки. Сложный случай

Псевдокод

void deleteMax()              
    root = deleteMax(root)         
    root.color = BLACK               

Node moveRedLeft(h : Node)
    colorFlip(h)                     
    if (isRed(h.right.left)                
        h.right = rotateRight(h.right)       
        h = rotateLeft(h)                   
        colorFlip(h)                          
return h                                              

Node deleteMax(h : Node)
    if (isRed(h.left))                                         
    // вращаем все 3-вершины вправо
        h = rotateRight(h)
    // поддерживаем инвариант (h должен быть красным)
    if (h.right == null)   
        return null
    // заимствуем у брата если необходимо
    if (!isRed(h.right) && !isRed(h.right.left)) 
        h = moveRedRight(h)
    // опускаемся на один уровень глубже 
    h.left = deleteMax(h.left) 
    // исправление правых красных ссылок и 4-вершин на пути вверх
    return fixUp(h)

Удаление минимума

Поддерживаем инвариант: вершина или левый ребенок вершины красный.

Заметим, что если левый потомок вершины и левый потомок левого потомка вершины черные, необходимо переместить красную ссылку для сохранения инварианта.

Перемещение красной ссылки. Простой случай

Перемещение красной ссылки. Сложный случай

Псевдокод

Node moveRedLeft(h : Node)
    colorFlip(h)
    if (isRed(h.right.left))
        h.right = rotateRight(h.right)
        h = rotateLeft(h)
        colorFlip(h)
return h

void deleteMin()
    root = deleteMin(root)
    root.color = BLACK

Node deleteMin(h : Node)
    // удаляем узел на нижнем уровне(h должен быть красным по инварианту)
    if (h.left == null)    
        return null
     // Если необходимо, пропушим  красную ссылку вниз
    if  (!isRed(h.left) &&  !isRed(h.left.left))
         h = moveRedLeft(h)
     // опускаемся на уровень ниже 
    h.left = deleteMin(h.left)
return fixUp(h)

Асимптотика

Асимптотика методов в левосторонних красно-черных деревьях эквивалентна асимптотике левосторонних красно-черных деревьях.

См.также

• Красно-черное дерево
• Дерево поиска, наивная реализация

Источники информации

• Robert Sedgewick "Left-leaning Red-Black Trees" ,Department of Computer Science, Princeton University