|
|
| (не показана 1 промежуточная версия этого же участника) |
| Строка 1: |
Строка 1: |
| − | {{Определение
| |
| − | |definition=
| |
| − | '''Производящая функция Дирихле''' (англ. ''Dirichlet generating functions'') последовательности <tex>a_n</tex> — это формальный ряд вида:
| |
| − | <center>
| |
| − | <tex>A(s)= \frac{a_1}{1^s} + \frac{a_2}{2^s} + \frac{a_3}{3^s} + \dots = \sum\limits_{n=1}^\infty \frac{a_n}{n^s}</tex>,
| |
| − | </center>
| |
| − | }}
| |
| | | | |
| − | == Примечание ==
| |
| − | * Нумерация коэффициентов производящих функций Дирихле начинается с единицы, а не с нуля, как это было в случае обыкновенных производящих функций.
| |
| − | * что-то про то почему s, а не x
| |
| − |
| |
| − | == Примеры ==
| |
| − |
| |
| − | Самая известная среди производящих функций Дирихле является дзета-функция Римана
| |
| − | {{Определение
| |
| − | |definition=
| |
| − | '''Дзета-функция Римана ''' (англ. ''Dirichlet generating functions'') -- производящая функция Дирихле, отвечающая последовательности a1, a2, a3, вида:
| |
| − |
| |
| − | a1 +a2 +a3 +... 1s 2s 3s
| |
| − | }}
| |
| − |
| |
| − | Ниже таблица с кучей разных примеров
| |
| − |
| |
| − | == Операции ==
| |
| − |
| |
| − | Производящие функции Дирихле чаще используются в мультипликативной теории чисел, ввиду особого поведения относительно умножения.
| |
| − |
| |
| − | === Умножение ===
| |
| − |
| |
| − | A(s) = ann−s и B(s) = bnn−s мы получаем функцию
| |
| − | A(s)B(s)= a1b1 + a1b2 +a2b1 + a1b3 +a3b1 + a1b4 +a2b2 +a4b1 +... 1s 2s 3s 4s
| |
| − | Внутренние суммирование ведется по всем разложениям числа m в произведение двух сомножителей. Таким образом, использование производящих функций Дирихле позволяет контролировать мультипликативнную структуру натуральных чисел.
| |
| − |
| |
| − | === Сложение ===
| |
| − |
| |
| − | Сложение данных производящих функций соответствует обычному почтенному сложению последовательностей
| |
| − |
| |
| − | //пример
| |
| − |
| |
| − | === Единица ===
| |
| − |
| |
| − | Существует единица 1 = 1^-s
| |
| − |
| |
| − | === Обратимость ===
| |
| − |
| |
| − | Любая производящая функция Дирихле A(s) с ненулевым свободным членом, а1 != 0, обратима: для нее су
| |
| − | Можно привести доказательство теоремы о виде обратной функции для дето-функции Римана
| |
| − | == Источники информации ==
| |
| − | * [http://kvant.mirror1.mccme.ru/1988/11/razbienie_chisel.htm Вайнштейн Ф., Разбиение чисел. Журнал "Квант" № 11, 1988 год]
| |
| − | * [http://www.genfunc.ru/ Производящие функции]
| |
| − | * [http://en.wikipedia.org/wiki/Generating_function Wikipedia {{---}} Generating function]
| |
| − | * [[Нахождение количества разбиений числа на слагаемые|Нахождение количества разбиений числа на слагаемые. Пентагональная теорема Эйлера]]
| |
| − | * Graham, Knuth, and Patashnik: Concrete Mathematics
| |
| − |
| |
| − | [[Категория: Дискретная математика и алгоритмы]]
| |
| − | [[Категория: Комбинаторика]]
| |
| − | [[Категория: Подсчёт числа объектов]]
| |
