Изоморфизмы упорядоченных множеств

Определение:

Два частично упорядоченных множества [math]A[/math] и [math]B[/math] называются изоморфными (англ. isomorphic), если между ними существует взаимно однозначное соответствие, сохраняющее порядок. Более формально, [math] \exists [/math] биекция [math] f:A \rightarrow B : \forall \, a_1,a_2 \in A : a_1 \leqslant a_2 \Leftrightarrow f(a_1)\leqslant f(a_1)[/math]

Изоморфизм конечных множеств

Теорема:

Конечные линейно упорядоченные множества из одинакового числа элементов изоморфны.

Доказательство:

[math]\triangleright[/math]

Конечное линейно упорядоченное множество всегда имеет наименьший элемент. Возьмём любой элемент [math]x_1[/math]. Если он не наименьший, возьмём любой меньший него [math]x_2[/math]. Если и он не наименьший, ещё меньший — и так далее. Получим убывающую последовательность [math] x_1 \gt x_2 \gt \dots [/math] , которая рано или поздно должна оборваться, т.к. множество конечное. Присвоим наименьшему элементу номер 1. Из оставшихся снова выберем наименьший элемент и присвоим ему номер 2. Будем повторять эту операцию, пока в множестве не останется непомеченных элементов. Таким образом, мы доказали, что любое множество из [math] n [/math] элементов изоморфно множеству [math] \{ 1,2,\dots,n \} [/math]

[math]\triangleleft[/math]

Изоморфизм счетных множеств

Теорема:

Любые два счётных плотных линейно упорядоченных множества без наибольшего и наименьшего элементов изоморфны.

Доказательство:

[math]\triangleright[/math]

Пусть [math] A [/math] и [math] B [/math]

[math]\triangleleft[/math]

Любые два счётных плотных линейно упорядоченных множества без наибольшего и наименьшего элементов изоморфны