1ripi1sumf

[math]1 \mid r_i, p_i = 1 \mid \sum f_i[/math]

Для каждой работы задана монотонно неубывающая функция [math]f_i[/math]. Необходимо минимизировать [math] \sum f_i,[/math] где каждая [math]f_i[/math] считается на значении времени завершения выполнения задания с номером [math]i[/math].

Решение

Эта задача может быть решена сведением к решению задачи о назначениях. А именно, покажем, что решение задачи состоит в сопоставлении [math]n[/math] различным заданиям различных времен начала выполнения работы. Если сопоставляем работе [math]i[/math] время [math]t[/math], то вклад в целевую функцию будет [math] f_i(t + 1) [/math].

Далее будет показано, что при построении оптимального расписания нам нужно будет рассмотреть всего [math]n[/math] различных времен начала работ. Следовательно, подобная задача может быть решена за [math]O(n^3)[/math].

Поскольку [math]f_i[/math] — монотонно неубывающие функции, то это значит, что в оптимальном расписании работы должны начинать исполняться как можно раньше. Первые [math]n[/math] самых ранних для начала исполнения времен [math]t_i[/math] могут быть вычислены следующим алгоритмом :

 отсортиртировать по неубыванию времена появления [math]r_i[/math]
 [math]t_1[/math] = [math]r_1[/math]
 for [math] i \in \{ 2 \ldots n \} [/math]
   [math]t_i[/math] = [math]\max(r_i, t_{i-1} + 1)[/math]

Для того, чтобы найти оптимальное расписание, построим полный двудольный граф, в котором будут доли [math]V_1 = \left \{ 1,\ldots,n \right\} и V_2 = \left \{ t_1,\ldots,t_n \right\}[/math] и ребра [math]c_{ij}[/math] между ними:

[math] c_{ij} = \left \{\begin{array}{ll} f_i(t_j + 1), & r_i \leqslant t_i \\ \infty, & \mathrm{otherwise} \end{array} \right. [/math]

Решив задачу о назначениях для данного графа, получим оптимальное расписание.

Доказательство корректности и оптимальности

Лемма:

Пусть значения [math]t_i[/math] вычислены приведенным выше алгоритмом. Тогда существует оптимальное расписание [math]S,[/math] в котором все [math]n[/math] задач распределены по всем временам [math]t_i (i = 1\ldots n).[/math]

Доказательство:

[math]\triangleright[/math]

Предположим, что в некоторое оптимальное расписание [math]S[/math] входят времена [math] t_1 \ldots t_j, [/math] где [math] j \lt n,[/math] а вместо [math]t_{j+1}[/math] времени используется какое-то другое. Из всех возможных таких оптимальных расписаний мы возьмем то, у которого [math]j[/math] будет максимально. Из того, как в алгоритме выбирались значения для [math]t_i[/math] следует, что [math]t_{j + 1}[/math] — минимальное возможное время, большее [math]t_j,[/math] в которое можно начать выполнять какое-нибудь из оставшихся заданий. Если во время [math]t_{j+1}[/math] в расписании [math]S[/math] не выполняется никакого задания, то какое-то задание, которое могло бы выполнится в момент времени [math]t_{j+1}[/math] выполняется в [math]S[/math] позднее. Значит оно может быть перемещено в нашем расписании [math]S[/math] на время [math]t_{j+1}[/math] без увеличения целевой функции. Таким образом, наше новое расписание тоже будет оптимальным. Получили противоречие с максимальностью [math]j[/math]. Значит из всех оптимальных расписаний нам подходят только те, в которых [math]j = n[/math].

[math]\triangleleft[/math]

Частный случай

В случае, когда все времена появлений заданий различны, оптимальное решение может быть посчитано за [math]O(n\log n) [/math].

Поскольку любое задание выполняется за единицу времени, а все функции [math]f_i[/math] являются неубывающими, то будет достаточно отсортировать работы по возрастанию времен появления и выполнять каждую работу как только она появится. Поскольку все [math]r_i[/math] различны, то промежутки выполнения работ не будут пересекаться — расписание будет корректным.

Примеры

Пример 1

Даны четыре задания.

[math]r_1 = 3, f_1 = 5t [/math]

[math]r_2 = 2, f_2 = t^2 [/math]

[math]r_3 = 4, f_3 = t + 4 [/math]

[math]r_4 = 1, f_4 = 2^t [/math]

Отсортируем задания по неубыванию [math]r_i[/math], а дальше будем выполнять их по мере появления. В полученном расписании работы будут идти в порядке [math]4, 2, 1, 3[/math] и давать в ответе [math]2^{1 + 1} + (2 + 1)^2 + 5(3 + 1) + (4 + 1) + 4 = 42 [/math], что является оптимальным результатом.

Пример 2

Пусть у нас есть три задания, и каждое из них имеет время появления [math]r_i = 0.[/math] Заданы функции [math]f_i[/math]:

[math]f_1(t) = t^2 [/math]

[math]f_2(t) = t^3 [/math]

[math]f_3(t) = 3 ^ t [/math]

Поступить как в предыдущем примере и просто отсортировать работы мы теперь не можем — не понятно, в каком порядке сортировать задания с одинаковым временем появления.

Тогда нучно по приведенному в начале алгоритму посчитать времена, когда мы можем начать выполнять задания. В результате получим: [math]t_1 = 0, t_2 = 1, t_3 = 2[/math]. Тогда, согласно алгоритму, задача сведется к следующей задаче о назначениях:

[math] \begin{tabular}{c||ccc} $t_i$ $\backslash$ i & 1 & 2 & 3 \\ \hline \hline 0 & 1 & $\mathbf{1}$ & 3 \\ 1 & 4 & 8 & $\mathbf{9}$ \\ 2 & $\mathbf{9}$ & 27 & 27\\ \hline \end{tabular} [/math]

В результате будет работы Венгерского алгоритма будет выбран порядок работ [math]2, 3, 1[/math], что даст лучший результат — [math]19[/math].

На этом примере хорошо видно, что решение, выбирающие в каждый момент времени [math]t_i[/math] несделанную работу с минимальным значением f_i(t_i + 1) будет давать плохой результат.

Пример 3

Пусть у нас есть четыре задания, определенные следующим образом:

[math]r_1 = 0, f_1(t) = t^2 [/math]

[math]r_2 = 0, f_2(t) = 2t [/math]

[math]r_3 = 1, f_3(t) = 2 ^ t [/math]

[math]r_4 = 5, f_3(t) = t + 2 [/math]

Работы уже отсортированы, поэтому по приведенному в начале алгоритму посчитаем времена [math]t_i[/math] для выполнения задания. Получим: [math]t_1 = 0, t_2 = 1, t_3 = 2, t_4 = 4[/math].

Таблица, необходимая для решения задачи, будет построена так, что если работа с номером [math]i[/math] ещё не доступна в момент времени [math]t_j[/math], то в соответствующей ячейке будет стоять [math]\infty[/math].

[math] \begin{tabular}{c||cccc} $t_i$ $\backslash$ i & 1 & 2 & 3 & 4 \\ \hline \hline 0 & $\mathbf{1}$ & 2 & $\infty$ & $\infty$ \\ 1 & 4 & 4 & $\mathbf{4}$ & $\infty$ \\ 2 & 9 & $\mathbf{6}$ & 8& $\infty$ \\ 4 & 25 & 10 & 32 & $\mathbf{7}$ \\ \hline \end{tabular} [/math]

В результате будет выбран порядок работ [math]1, 3, 2, 4[/math], и все работы выполнятся за [math]18[/math] единиц времени.

Здесь видно, что решение, выбирающие работы в порядке неуменьшения времен [math]r_i[/math] не сработает.

См. также

• Классификация задач
• [math]1 \mid prec, pmtn, r_i \mid f_{\max}[/math]

Источники информации

• P. Brucker. Scheduling Algorithms (2006), 5th edition, стр. 19 - 20