Участник:Shovkoplyas Grigory

Алгоритм Эрли позволяет определить, выводится ли данное слово [math]w[/math] в данной контекстно-свободной грамматике [math]G[/math].

Вход: КС грамматика [math] G=\langle N,\Sigma, P, S \rangle[/math] и слово [math]w[/math].
Выход: [math]true[/math], если [math]w[/math] выводится в [math]G[/math]; [math]false[/math] — иначе.

Определения

Определение:

Пусть [math]G = \langle N, \Sigma, P, S \rangle[/math] — контекстно-свободная грамматика и [math]w = w_1 w_2 ... w_n[/math] — входная цепочка из [math]\Sigma^*[/math]. Объект вида [math][A \rightarrow \alpha \cdot \beta, i][/math], где [math]A \rightarrow \alpha \beta [/math] — правило из [math]P[/math] и [math]0 \leqslant i \leqslant n[/math] — позиция в [math]w[/math], называется ситуацией, относящейся к цепочке [math]w[/math]. [math] \cdot [/math] — вспомогательный символ, который не явлется терминалом или нетерминалом ( [math] \cdot \notin \Sigma \cup N[/math]).

Определение:

[math]j[/math]-м списком ситуаций [math]D_j[/math] для входной цепочки [math]w = w_1 w_2 ... w_n[/math], где [math]0 \leqslant j \leqslant n[/math], называется множество ситуаций [math]\lbrace [A \rightarrow \alpha \cdot \beta , i] \mid \alpha \Rightarrow^* w_{i+1} ... w_j; \exists \gamma, \delta : S \Rightarrow^* \gamma A \delta, \gamma \Rightarrow^* w_1...w_i \rbrace[/math]. То есть [math]\gamma \alpha [/math] выводит часть [math]w[/math] c первого по [math]j[/math]-й символ.

Лемма:

[math](\exists \alpha : [S \rightarrow \alpha \cdot, 0] \in D_n) \Leftrightarrow w \in L(G)[/math].

Доказательство:

[math]\triangleright[/math]

Поскольку [math]S \Rightarrow^* \gamma S \delta[/math] (при [math]\gamma = \delta = \varepsilon[/math]), из определения [math]D_n[/math] получаем, что [math]([S \rightarrow \alpha \cdot, 0] \in D_n) \Leftrightarrow (S \Rightarrow \alpha \Rightarrow^* w_1 ... w_n = w)[/math].

[math]\triangleleft[/math]

Определение:

Последовательность списков ситуаций [math]D_0, D_1, .., D_n[/math] называется списком разбора для входной цепочки [math]w[/math].

Алгоритм Эрли

Чтобы воспользоваться леммой, необходимо найти [math]D_n[/math] для [math]w[/math]. Алгоритм Эрли является динамическим алгоритмом: он последовательно строит список разбора, причём при построении [math]D_j[/math] используются [math]D_0, \ldots, D_{j}[/math] (то есть элементы списков с меньшими номерами и ситуации, содержащиеся в текущем списке на данный момент).

Алгоритм основывается на следующих трёх правилах:

1. Если [math][A \rightarrow \alpha \cdot w_{j} \beta, i] \in D_{j-1}[/math] (где [math]w_j[/math] — [math]j[/math]-ый символ строки), то [math][A \rightarrow \alpha w_{j} \cdot \beta, i] \in D_j[/math].
2. Если [math][B \rightarrow \eta \cdot, i] \in D_j[/math] и [math][A \rightarrow \alpha \cdot B \beta, k] \in D_i[/math], то [math][A \rightarrow \alpha B \cdot \beta, k] \in D_j[/math].
3. Если [math][A \rightarrow \alpha \cdot B \beta, i] \in D_{j} [/math] и [math](B \rightarrow \eta) \in P [/math], то [math][B \rightarrow \cdot \eta, j] \in D_{j}[/math].

Псевдокод

Для простоты добавим новый стартовый вспомогательный нетерминал [math]S'[/math] и правило [math](S' \rightarrow S)[/math].

function [math]\mathtt{earley}(G, w)[/math]:
  // Инициализация 
  [math] D_{0} = \lbrace [S' \rightarrow \cdot S, 0] \rbrace [/math]
  for i = 1 to len(w) - 1
    [math]D_i[/math] = [math]\varnothing [/math]
  // Вычисление ситуаций 
  for j = 0 to len(w) - 1
    [math]\mathtt{scan}(D, j, G, w)[/math]
    while [math]D_j[/math] изменяется
      [math]\mathtt{complete}(D, j, G, w)[/math]
      [math]\mathtt{predict}(D, j, G, w)[/math]
  // Результат 
  if  [math][S' \rightarrow S \cdot, 0] \in D_{len(w)} [/math]
    return True
  else
    return False    

// Первое правило 
function [math]\mathtt{scan}(D, j, G, w)[/math]:
  if [math]j[/math] == [math]0[/math]
    return
  for [math][A \rightarrow \alpha \cdot a \beta, i] \in D_{j - 1} [/math]
    if [math]a[/math] == [math]w_{j - 1}[/math]
      [math]D_{j}[/math] [math] \cup[/math]= [math][A \rightarrow \alpha \cdot a \beta, i][/math]

// Второе правило 
function [math]\mathtt{complete}(D, j, G, w)[/math]:
  for [math][B \rightarrow \eta \cdot, i] \in D_{j} [/math]
    for [math][A \rightarrow \alpha \cdot B \beta, k] \in D_{i} [/math]
      [math]D_{j}[/math] [math] \cup[/math]= [math][A \rightarrow \alpha B \cdot \beta, k][/math]

// Третье правило 
function [math]\mathtt{predict}(D, j, G, w)[/math]:
  for [math][A \rightarrow \alpha \cdot B \beta, i] \in D_{j} [/math]
    for [math](B \rightarrow \eta) \in P [/math]
      [math]D_{j}[/math] [math]\cup[/math]= [math][B \rightarrow \cdot \eta, j][/math]

Корректность алгоритма

Теорема:

Приведенный алгоритм правильно строит все списки ситуаций. То есть алгоритм поддерживает инвариант [math] [A \rightarrow \alpha \cdot \beta, i] \in D_{j} \Longleftrightarrow \exists \delta \in \Sigma \cup N : ((S \Rightarrow^* w_0...w_{i-1} A \delta) \wedge A \Rightarrow^* w_i...w_{j-1})[/math]

Доказательство:

[math]\triangleright[/math]

[math]\Longrightarrow[/math] Докажем индукцией по исполнению алгоритма. База — [math][S' \rightarrow \cdot S, 0] \in D_0[/math]. Осталось разобраться, в результате применения какого правила ситуация [math] [A \rightarrow \alpha \cdot \beta, i] [/math] попала в [math]D_{j}[/math] 1. Включаем по правилу [math] \mathtt{scan}[/math]. Это произошло, если [math] \alpha = \alpha ' a[/math], [math]a = w_{j-1}[/math] и [math] [A \rightarrow \alpha ' \cdot a \beta, i] \in D_{j-1}[/math]. По предположению индукции [math]S \Rightarrow^* w_0...w_{i-1} A \delta[/math] и [math]\alpha' \Rightarrow^* w_i...w_{j-2}[/math], тогда в силу [math]a = w_{j-1}[/math] получаем [math]\alpha = \alpha ' a \Rightarrow^* w_i...w_{j-2}w_{j-1} = w_i...w_{j-1}[/math]. Таким образом условия: [math]S \Rightarrow^* w_0...w_{i-1} A \delta[/math] и [math]\alpha \Rightarrow^* w_i...w_{j-1}[/math] выполняются. 2. Включаем по правилу [math] \mathtt{predict}[/math]. По построению: [math] \alpha = \varepsilon [/math] и [math]i=j[/math], что автоматически влечет второй пункт утверждения. Кроме того [math]\exists i' \le i[/math] и ситуация [math][A' \rightarrow \alpha ' \cdot A \delta ', i'] \in D_i[/math], из чего по предположению индукции следует [math]S \Rightarrow^* w_0...w_{i'-1} A' \delta ''[/math] и [math] \alpha ' \Rightarrow^* w_{i'}...w_{i-1}[/math]. Получаем, что [math]S \Rightarrow^* w_0...w_{i'-1} A' \delta ''[/math], значит [math]S \Rightarrow^* w_0...w_{i'-1} \alpha' A \delta' \delta '' [/math], следовательно [math] S \Rightarrow^* w_0...w_{i'-1} w_{i'}...w_{i-1} A \delta' \delta '' [/math], в итоге [math] S \Rightarrow^* w_0...w_{i-1} A \delta[/math], что нам и требовалось. 3. Включаем по правилу [math] \mathtt{complete}[/math]. По построению: [math] \alpha = \alpha ' A' [/math] и [math]\exists i', \delta : [A \rightarrow \alpha ' \cdot A' \beta, i] \in D_{i'} \wedge [A' \rightarrow \eta \cdot, i'] \in D_j[/math]. Cледовательно [math]\alpha = \alpha ' A' \Rightarrow^* w_i...w_{i'-1} w_{i'}...w_{j} = w_i...w_{j-1}[/math], что дает нам второй пункт утверждения, а так как первый пункт следует из индукционного предположения, все хорошо. [math]\Longleftarrow[/math] Для всех наборов [math]\tau = \langle \alpha, \beta, \gamma, \delta, A, i , j \rangle[/math] нужно доказать, что, если [math] S' \Rightarrow^* \gamma A \delta, \gamma \Rightarrow^* a_1...a_{i}, (A \rightarrow \alpha \beta) \in P, \alpha \Rightarrow^* a_{i+1}...a_{j}[/math], то алгоритм добавит [math] [A \rightarrow \alpha \cdot \beta, i][/math] в [math] I_{j}[/math]. Рангом набора [math] \tau [/math] называется [math] \tau_{S'}(\tau) + 2(j + \tau_{\gamma}(\tau) + \tau_{\alpha}(\tau))[/math], где [math]\tau_{S'}(\tau)[/math] — длина кратчайшего вывода [math]S' \Rightarrow^* \gamma A \delta [/math], [math]\tau_{\gamma}(\tau)[/math] — длина кратчайшего вывода [math]\gamma \Rightarrow^* a_1...a_{i}[/math], [math]\tau_{\alpha}(\tau)[/math] — длина кратчайшего вывода [math]\alpha \Rightarrow^* a_{i+1}...a_{j}[/math]. Докажем утверждение индукцией по рангу набора. База: если ранг [math]\tau[/math] равен 0, то [math]\tau_{S'} = \tau_{\gamma} = \tau_{\alpha} = j = i = 0[/math]. Значит, [math]A = S'[/math], [math]\alpha = \gamma = \delta = \varepsilon [/math], [math]\beta = S [/math]. При инициализации такая ситуация [math][S' \rightarrow \cdot S, 0][/math] будет добавлена в [math]I_0[/math]. Индукционный переход: пусть ранг [math]\tau[/math] равен [math]r \gt 0[/math], пусть для всех наборов с меньшими рангами утверждение верно. Докажем для набора [math]\tau[/math]. Для этого рассмотрим три случая: 1. [math]\alpha[/math] оканчивается терминалом. [math]\alpha = \alpha' c[/math]. [math]\alpha \Rightarrow^*a_{i+1}...a_{j}[/math], значит [math]c = a_{j}[/math]. Рассмотрим набор [math]\tau' = \langle \alpha', a_{j} \beta, \gamma, \delta, A, i, j-1 \rangle [/math]. [math](A \rightarrow \alpha' a_{j} \beta) \in P[/math], следовательно ранг [math]\tau'[/math] равен [math]r - 2[/math], так как [math]\tau_{S'}(\tau) = \tau_{S'}(\tau'), \tau_{\gamma}(\tau) = \tau_{\gamma}(\tau'), \tau_{\alpha}(\tau) = \tau_{\alpha}(\tau')[/math]. Значит, по предположению [math][A \rightarrow \alpha' \cdot a_{j} \beta, i] \in I_{j-1}[/math], и [math][A \rightarrow \alpha \cdot \beta, i] [/math] будет добавлена в [math]I_{j}[/math] по правилу [math](1)[/math]. 2. [math]\alpha[/math] оканчивается нетерминалом. [math]\alpha = \alpha' B[/math]. [math]\alpha \Rightarrow^*a_{i+1}...a_{j}[/math], значит [math]\mathcal {9} k[/math] такое, что [math]\alpha' \Rightarrow^*a_{i+1}...a_{k}, B \Rightarrow^* a_{k+1}...a_{j}[/math]. Рассмотрим набор [math]\tau' = \langle \alpha', B \beta, \gamma, \delta, A, i, k \rangle[/math], его ранг меньше [math]r[/math], следовательно [math][A \rightarrow \alpha' \cdot B \beta, i] \in I_{k}[/math] по предположению. Пусть [math]B \Rightarrow \eta[/math] — первый шаг в кратчайшем выводе [math]B \Rightarrow^* a_{k+1}...a_{j}[/math]. Рассмотрим набор [math]\tau'' = \langle \eta, \varepsilon, \gamma \alpha', \beta \delta, B, k, j \rangle[/math]. [math]S \Rightarrow^* \gamma A \delta \Rightarrow \gamma \alpha' B \beta \delta[/math], следовательно [math]\tau_{S'}(\tau'') \leqslant \tau_{S'}(\tau) + 1[/math]. Пусть длина кратчайшего вывода [math]\alpha' \Rightarrow^*a_{i+1}...a_{k}[/math] равна [math]n_1[/math], а длина кратчайшего вывода [math] B \Rightarrow^* a_{k+1}...a_{j}[/math] равна [math]n_2[/math]. Тогда [math]\tau_{\alpha}(\tau) = n_1 + n_2[/math]. Так как [math] B \Rightarrow \eta \Rightarrow^* a_{k+1}...a_{j}[/math], то [math]\tau_{\alpha}(\tau'') = n_2 - 1[/math]. Очевидно, что [math]\tau_{\gamma}(\tau'') = \tau_{\gamma}(\tau) + n_1[/math]. Тогда ранг [math]\tau''[/math] равен [math]\tau_{S'}(\tau'') + 2(\tau_{\gamma}(\tau'') + \tau_{\alpha}(\tau'') + j) \leqslant \tau_{S'}(\tau) + 1 + 2(\tau_{\gamma}(\tau) + n_1 + n_2 - 1 + j)[/math] [math]= \tau_{S'}(\tau) - 1 + 2(\tau_{\gamma}(\tau) + \tau_{\alpha}(\tau) + j) \lt r[/math]. Значит, по предположению для [math]\tau''[/math], [math][B \rightarrow \eta \cdot, k] \in I_{j}[/math]. Из того, что [math][A \rightarrow \alpha' \cdot B \beta, i] \in I_{k}[/math] и [math][B \rightarrow \eta \cdot, k] \in I_{j}[/math], по правилу [math](2)[/math] [math][A \rightarrow \alpha \cdot \beta, i] [/math] будет добавлена в [math]I_{j}[/math]. 3. [math]\alpha = \varepsilon[/math]. В этом случае [math]i = j, \tau_{\alpha}(\tau) = 0, (A \rightarrow \beta) \in P[/math]. [math]\tau_{S'}(\tau) \neq 0[/math] т.к. иначе [math] \gamma = \varepsilon[/math], следовательно [math] \tau_{\gamma}(\tau) = 0, i = 0 [/math], откуда [math] r = 0[/math], но [math]r \gt 0[/math]. Т.к. [math]\tau_{S'}(\tau) \gt 0[/math], [math] \exists B, \gamma', \gamma'', \delta', \delta'' : S' \Rightarrow^* \gamma' B \delta' \Rightarrow \gamma' \gamma'' A \delta' \delta''[/math], где [math](B \rightarrow \gamma'' A \delta'') \in P[/math]. Рассмотрим набор [math]\tau' = \langle \gamma'', A \delta'', \gamma', \delta', B, k, j \rangle[/math], где [math]k[/math] такое, что [math]\gamma' \Rightarrow^* a_1...a_{k}, \gamma'' \Rightarrow^* a_{k+1}...a_{j}[/math]. Пусть длина кратчайшего вывода [math]\gamma' \Rightarrow^*a_{1}...a_{k}[/math] равна [math]n_1[/math], а длина кратчайшего вывода [math] \gamma'' \Rightarrow^* a_{k+1}...a_{j}[/math] равна [math]n_2[/math]. Найдём ранг [math]\tau'[/math]. [math]\tau_{S'}(\tau') = \tau_{S'}(\tau) - 1, \tau_{\gamma}(\tau') = n_1, \tau_{\alpha}(\tau') = n_2[/math]. [math]\tau_{\alpha}(\tau) = 0, \tau_{\gamma}(\tau) = n_1 + n_2[/math], следовательно ранг [math]\tau'[/math] равен [math]r - 1[/math]. Значит, по предположению [math][B \rightarrow \gamma'' \cdot A \delta'', k] \in I_{j}[/math], следовательно по правилу [math](3)[/math] [math][A \rightarrow \cdot \beta, i] [/math] будет добавлена в [math]I_{j}[/math].

[math]\triangleleft[/math]

Пример

Построим список разбора для строки [math]w = (a + a)[/math] в грамматике со следующими правилами:

• [math]S \rightarrow T + S[/math];
• [math]S \rightarrow T [/math];
• [math]T \rightarrow F * T[/math];
• [math]T \rightarrow F[/math];
• [math]F \rightarrow ( S )[/math];
• [math]F \rightarrow a[/math].

[math]I_0[/math] Ситуация Из правила [math][S' \rightarrow \cdot S, 0][/math] 0 [math][S \rightarrow \cdot T + S, 0][/math] 3 [math][S \rightarrow \cdot T, 0][/math] 3 [math][T \rightarrow \cdot F * T, 0][/math] 3 [math][T \rightarrow \cdot F, 0][/math] 3 [math][F \rightarrow \cdot ( S ), 0][/math] 3 [math][F \rightarrow \cdot a, 0][/math] 3	[math]I_1[/math] Ситуация Из правила [math][F \rightarrow ( \cdot S ), 0][/math] 1 [math][S \rightarrow \cdot T + S, 1][/math] 3 [math][S \rightarrow \cdot T, 1][/math] 3 [math][T \rightarrow \cdot F * T, 1][/math] 3 [math][T \rightarrow \cdot F, 1][/math] 3 [math][F \rightarrow \cdot ( S ), 1][/math] 3 [math][F \rightarrow \cdot a, 1][/math] 3	[math]I_2[/math] Ситуация Из правила [math][F \rightarrow a \cdot, 1][/math] 1 [math][T \rightarrow F \cdot * T, 1][/math] 2 [math][T \rightarrow F \cdot , 1][/math] 2 [math][S \rightarrow T \cdot , 1][/math] 2 [math][S \rightarrow T \cdot + S, 1][/math] 2 [math][F \rightarrow ( S \cdot ), 0][/math] 2
[math]I_3[/math] Ситуация Из правила [math][S \rightarrow T + \cdot S, 1][/math] 1 [math][S \rightarrow \cdot T + S, 3][/math] 3 [math][S \rightarrow \cdot T, 3][/math] 3 [math][T \rightarrow \cdot F * T, 3][/math] 3 [math][T \rightarrow \cdot F, 3][/math] 3 [math][F \rightarrow \cdot ( S ), 3][/math] 3 [math][F \rightarrow \cdot a, 3][/math] 3	[math]I_4[/math] Ситуация Из правила [math][F \rightarrow a \cdot , 3][/math] 1 [math][T \rightarrow F \cdot * T, 3][/math] 2 [math][T \rightarrow F \cdot , 3][/math] 2 [math][S \rightarrow T \cdot + S, 3][/math] 2 [math][S \rightarrow T \cdot , 3][/math] 2 [math][S \rightarrow T + S \cdot , 1][/math] 2 [math][F \rightarrow ( S \cdot ), 0][/math] 2	[math]I_5[/math] Ситуация Из правила [math][F \rightarrow ( S )\cdot , 0][/math] 1 [math][T \rightarrow F \cdot * T, 0][/math] 2 [math][T \rightarrow F \cdot , 0][/math] 2 [math][S \rightarrow T \cdot + S, 0][/math] 2 [math][S \rightarrow T \cdot , 0][/math] 2 [math][S' \rightarrow S \cdot , 0][/math] 2

Так как [math][S' \rightarrow S \cdot , 0] \in I_5[/math], то [math]w \in L(G) [/math].

Источники информации

• Алексей Сорокин — Алгоритм Эрли
• Ахо А., Ульман Д.— Теория синтакcического анализа, перевода и компиляции. Том 1. Синтаксический анализ. Пер. с англ. — М.:«Мир», 1978. С. 358 — 364.