Модуль непрерывности функции

Эта статья находится в разработке!

Определение:

Функция [math]\omega: \mathbb{R}^+ \rightarrow \mathbb{R}^+[/math] называется модулем непрерывности, если: [math]\omega (0) = 0 = \lim \limits_{t \to +0} \,\omega(t)[/math] [math]\omega (t)[/math] не убывает [math]\omega (t_1 + t_2) \le \omega(t_1) + \omega(t_2)[/math] (полуаддитивность)

Свойства модулей непрерывности

1) [math]\forall n \in \mathbb{N}[/math] верно [math] \omega (nt) \le n \omega (t)[/math]
Доказательство ведется по индукции. Для [math]n = 1[/math] неравенство тривиально. Пусть утверждение верно для [math]n[/math]. Тогда [math]\omega((n + 1) t)\:\:=\:\:\omega(nt + t)\:\:\le\:\:\omega(nt) + \omega(t)\:\:\le\:\:n \omega(t) + \omega(t)\:\:=\:\:(n + 1) \omega (t)[/math], ч. т. д.

2) [math]\forall \lambda \gt 0[/math] верно [math]\omega(\lambda t) \le (1 + \lambda) \omega (t)[/math]
Доказательство: [math]\lambda \le \lfloor\lambda\rfloor + 1[/math][math]\omega(\lambda t)\:\:\le\:\:\omega((\lfloor\lambda\rfloor + 1) t)\:\:\le\:\:(\lfloor\lambda\rfloor + 1)\omega (t)\:\:\le\:\:(1 + \lambda) \omega (t)[/math]

3) Пусть для некоторой функции [math]\omega[/math] выполняются аксиомы 1 и 2 определения, и функция [math]\frac{\omega(t)}t[/math] убывает. Тогда [math]\omega[/math] - модуль непрерывности.
Видно, что треубется доказать только полуаддитивность. Т. к. [math]t_1, t_2 \lt t_1 + t_2[/math], то [math]\frac{\omega (t_1)}{t_1}, \frac{\omega(t_2)}{t_2} \ge \frac{\omega(t_1 + t_2)}{t_1 + t_2}[/math]. Тогда [math]\omega(t_1) + \omega(t_2) = t_1 \cdot \frac{\omega(t_1)}{t_1} + t_2 \cdot \frac{\omega(t_2)}{t_2} \ge t_1 \cdot \frac{\omega(t_1 + t_2)}{t_1 + t_2} + t_2 \cdot \frac{\omega(t_1 + t_2)}{t_1 + t_2} = \omega(t_1 + t_2) [/math].

4) Пусть [math]\omega[/math] удовлетворяет аксиомам 1 и 2 определения и является выпуклой вверх. Тогда [math]\omega[/math] - модуль непрерывности.
Докажем, опираясь на пункт 3. Покажем, что [math]\frac{\omega(t)}{t}[/math] убывает.
[math]0 \lt t_1 \lt t_2[/math], [math]t_1 = \left(1 - \frac{t_1}{t_2}\right) \cdot 0 + \frac{t_1}{t_2} \cdot t_2[/math] - выпуклая комбинация 0 и [math]t_2[/math].
Из выпуклости следует: [math]\omega(t_1) \ge \left( 1 - \frac{t_1}{t_2} \right) \cdot \omega(0) + \frac{t_1}{t_2} \cdot \omega(t_2)[/math]. Но [math]\omega(0) = 0[/math], следовательно, [math]\frac{\omega(t_1)}{t_1} \ge \frac{\omega(t_2)}{t_2}[/math], то есть, функция [math]\frac{\omega(t)}{t}[/math] является убывающей.

Примеры

По свойству четыре видно, что можно построить сколь угодно много модулей непрерывности. Например, [math]\omega (t) = \frac{t}{t + 1}[/math] является модулем непрерывности.
[math]\omega'(t) = \frac{(1 + t) - t}{(t + 1)^2} = \frac{1}{(1 + t)^2} \gt 0[/math] - функция возрастает.
[math]\omega''(t) = -\frac{2}{(t + 1)^3} \lt 0[/math] - функция является выпуклой вверх.

Теорема о выпуклом модуле непрерывности

Класс модулей непрерывности обозначим [math]\Omega[/math]. Класс выпуклых вверх модулей непрерывности обозначим [math]\Omega^*[/math].

Важное значение имеет следующая теорема о выпуклом модуле непрерывности, которая основывается на следующем факте:

Утверждение:

Пусть имеется семейство выпуклых функций [math]F[/math], занумерованных индексом [math]\alpha[/math]. Пусть [math]f(t) = \inf\limits_{\alpha} f_{\alpha} (t)[/math]. Тогда [math]f(t)[/math] - также выпуклая функция.

[math]\triangleright[/math]

Требуется показать, что: [math]\beta f(t_1) + (1 - \beta) f(t_2) \le f(\beta t_1 + (1 - \beta) t_2), \ \beta \in [0; 1][/math] Так как все функции семейства выпуклы вверх, то для любого [math]\alpha[/math] верно: [math]\beta f_{\alpha}(t_1) + (1 - \beta) f_{\alpha}(t_2) \le f_{\alpha}(\beta t_1 + (1 - \beta) t_2)[/math]. Но, по определению [math]f(t) \le f_{\alpha}(t)[/math], следовательно, [math]\beta f(t_1) + (1 - \beta) f(t_2) \le f_{\alpha}(\beta t_1 + (1 - \beta) t_2)[/math]. Переходя в правой части неравенства к нижней грани множества [math]F[/math], получаем искомое неравенство.

[math]\triangleleft[/math]

Теорема (о выпуклом модуле непрерывности):

Пусть [math]\omega \in \Omega[/math]. Тогда существует [math]\omega^* \in \Omega^*[/math] такой, что [math]\forall \lambda, t \ge 0[/math] [math]\omega(\lambda t) \le \omega^* (\lambda t) \le (1 + \lambda) \omega(t)[/math]