Теорема о рекурсии

Теорема о рекурсии

Теорема (Клини, о рекурсии / Kleene's recursion theorem):

Пусть [math]V(n, x)[/math] — вычислимая функция. Тогда найдётся такая вычислимая [math]p[/math], что [math]\forall y[/math] [math]p(y) = V(p, y)[/math].

Доказательство:

[math]\triangleright[/math]

Приведем конструктивное доказательство теоремы. Пусть есть вычислимая [math]V(x,y)[/math]. Будем поэтапно строить функцию [math]p(y)[/math]. Предположим, что у нас в распоряжении есть функция [math]getSrc()[/math], которая вернет код [math]p(y)[/math]. Тогда саму [math]p(y)[/math] можно переписать так: p(y){ V(x,y) {...} main() { return V(getSrc(), y) } string getSrc() {...} } Теперь нужно определить функцию [math]getSrc()[/math]. Предположим, что внутри [math]p(y)[/math] мы можем определить функцию [math]getOtherSrc()[/math], состоящую из одного оператора [math]return[/math], которая вернет весь предшествующий ей код. Тогда [math]p(y)[/math] перепишется так. p(y){ V(x,y) {...} main() { return V(getSrc(), y) } string getSrc() { string src = getOtherSrc(); return src + "string getOtherSrc() {" + "\n" + "return" + src + "\n" + "}"; } string getOtherSrc() {...} } Теперь [math]getOtherSrc()[/math] определяется очевидным образом, и мы получаем итоговую версию функции [math]p(y)[/math] p(y){ V(x,y) {...} main() { return V(getSrc(), y) } string getSrc() { string src = getOtherSrc(); return src + "string getOtherSrc() {" + "\n" + "return" + src + "\n" + "}"; } string getOtherSrc() { return " p(y){ // Возвращаем весь предыдущий код V(x,y) {...} main() { return V(getSrc(), y) } string getSrc() { string src = getOtherSrc(); return src + "string getOtherSrc() {" + "\n" + "return" + src + "\n" + "}"; }"; } }

[math]\triangleleft[/math]

Если говорить неформально, теорема о рекурсии утверждает, что внутри программы можно использовать ее код. Это упрощает доказательство некоторых теорем.

Приведем так же альтернативую формулировку теоремы и альтернативное (неконструктивное) доказательство.

Теорема (Роджерс, о неподвижной точке / Rogers' fixed-point theorem):

Пусть [math]U[/math] — универсальная функция, [math]h[/math] — всюду определённая вычислимая функция. Тогда найдется такое [math]n[/math], что [math]U_n=U_{h(n)}[/math]. Другими словами: нельзя найти алгоритма, преобразующего про- граммы, который бы по каждой программе давал другую (не эквива- лентную ей).

Доказательство:

[math]\triangleright[/math]

Начнём с доказательства леммы. Лемма: Пусть на натуральных числах задано отношение эквивалентности [math]\equiv[/math]. Тогда следующие два утверждения не могут быть выполнены одновременно: Пусть [math]f[/math] — вычислимая функция. Тогда существует всюду определённое вычислимое [math]\equiv[/math] — продолжение [math]g[/math] функции [math]f[/math], то есть такая [math]g[/math], что [math]D(g)=N[/math] и [math]\forall x[/math] такого, что [math]f(x) \ne \perp[/math], выполнено [math]f(x) \equiv g(x)[/math]. Найдётся такая всюду определенная вычислимая [math]h[/math], что [math]\forall n [/math] выполнено [math]h(n) \not\equiv n[/math]. Доказательство: [math]\triangleright[/math] Приведем доказательство от противного. Пусть оба утверждения выполнены. Определим функцию [math]f[/math] так: [math]f(x)=U(x,x)[/math]. Заметим, что никакая всюду вычислимая функция не отличается от [math]f[/math] всюду. Согласно первому утверждению найдётся всюду определённое вычислимое [math]\equiv[/math] — продолжение [math]g[/math] функции [math]f[/math]. Определим функцию [math]t[/math] так: [math]t(x)=h(g(x))[/math], где [math]h[/math] — функция из второго утверждения. Если [math]f(x) \ne \perp[/math], то [math]f(x)=g(x) \ne h(g(x))=t(x)[/math], то есть [math]f(x) \ne t(x)[/math]. Если [math]f(x)= \perp[/math], то [math]f(x) \ne t(x)[/math], так как [math]t[/math] всюду определена. Значит, [math]f[/math] всюду отлична от [math]t[/math], получили противоречие. [math]\triangleleft[/math] Теперь определим отношение [math]\equiv[/math] так: [math]x \equiv y \Leftrightarrow U_x = U_y[/math]. Покажем, что для него выполнено первое утверждение леммы. Для заданной [math]f[/math] определим [math]V(n,x) = U(f(n), x)[/math]. Так как [math]U[/math] — универсальная функция, то найдётся такая всюду определенная вычислимая функция [math]s[/math], что [math]V(n,x) = U(s(n), x)[/math]. Тогда [math]\forall x [/math] и [math] n [/math] будет выполнено [math]U(f(n), x) = U(s(n), x)[/math]. Значит, [math]\forall n [/math] [math] s(n) \equiv f(n)[/math], то есть [math]s[/math] — всюду определенное [math]\equiv[/math] — продолжение [math]f[/math]. Значит, для нашего отношения эквивалентности второе утверждение леммы не верно, то есть для любого вычислимого всюду определенного [math]h[/math] [math] \exists n[/math] такое, что [math]U_{h(n)} = U_n[/math].

[math]\triangleleft[/math]

Пример использования

Используя теорему о рекурсии, приведём простое доказательство неразрешимости языка [math]L=\{p|p(\epsilon)=\perp\}[/math].

Лемма:

Язык [math]L=\{p|p(\epsilon)=\perp\}[/math] неразрешим.

Доказательство:

[math]\triangleright[/math]

Предположим обратное, тогда существует программа [math]r[/math] разрещающая [math]L[/math]. Рассмотрим следущую программу: p(x) if r(p) return 1 while true Пусть [math]p(\epsilon)=\perp[/math]. Тогда условие [math]r(p)[/math] выполняется и [math]p(\epsilon)=1[/math]. Противоречие. Если [math]p(\epsilon) \ne \perp[/math], то [math]r(p)[/math] не выполняется и [math]p(\epsilon)=\perp[/math]. Противоречие.

[math]\triangleleft[/math]

Источники

• Верещагин Н. К., Шень А. Лекции по математической логике и теории алгоритмов. Часть 3. Вычислимые функции — М.: МЦНМО, 1999 - С. 176
• Kleene, Stephen On notation for ordinal numbers - The Journal of Symbolic Logic, 1938 - С. 150-155