Формула полной вероятности

Формула полной вероятности (law of total probability) позволяет вычислить вероятность интересующего события $A$ через вероятности его произойти при выполнении гипотез с заданной вероятностью. Формула полной вероятности требуется, когда необходимо узнать вероятность совершения некоторого события, если его совершение зависит от нескольких условий. Например, можно узнать вероятность принятия законопроекта, зная, с какой вероятностью его примет каждая партия. Ещё формула применяется в задачах о нахождении среднего качества продукции, выпускаемой цехом. Вот пример:

Из $40$ деталей $10$ изготовлены в первом цехе, $25$ — во втором, а остальные — в третьем. Первый и третий цехи дают продукцию отличного качества с вероятностью $0.9$, второй цех — с вероятностью $0.7$. Какова вероятность того, что взятая наудачу деталь будет отличного качества?

Теорема

Определение:

Полной системой событий называется не более чем счётное множество событий $B_1, B_2, ..., B_{n}$, таких что: все события попарно несовместны: $\forall i,~j = 1, 2, ..., n~B_{i} \cap B_{j} = \varnothing$ их объединение образует пространство элементарных исходов: $P(B_{i})~\gt ~0,~B_1~\cup ~B_2~\cup ...~\cup ~B_n = \Omega$

В этом случае события $B_i$ ещё называются гипотезами.

Теорема (формула полной вероятности):

Вероятность события $A~\subset ~\Omega$, которое может произойти только вместе с одним из событий $B_1, B_2, ..., B_{n}$, образующих полную систему событий, равна сумме произведений вероятностей гипотез на условные вероятности события, вычисленные соотвественно при каждой из гипотез. ${P}(A) = \sum\limits_{i=1}^{n} {P}( A \mid B_i) {P}(B_i)$

Доказательство:

$\triangleright$

Так как события $\{B_i\}_{i=1}^{n}$ образуют полную систему событий, то по определению событие $A$ можно представить следующим образом: $A~=~A \cap \Omega ~=~ A \cap \big( \bigcup\limits_{i=1}^{n} B_{i} \big) ~=~ \bigcup\limits_{i=1}^{n} ( A \cap B_{i} )$ События $\{B_i\}_{i=1}^{n}$ попарно несовместны, значит, события $(A\cap B_{i})$ тоже несовместны. Тогда, воспользовавшись определением условной вероятности, получаем: ${P}(A)~=~{P}\Big( \bigcup\limits_{i=1}^{n} ( A \cap B_{i} ) \Big) ~=~ \sum\limits_{i=1}^{n} {P}(A\cap B_i) ~=~ \sum\limits_{i=1}^{n} {P}(A \mid B_i){P}(B_i)$

$\triangleleft$

Использование формулы полной вероятности

Рассмотрим два примера

Пример 1

Условие. Имеются $3$ одинаковые урны с шарами. В первой из них находится $3$ белых и $4$ черных шара, во второй — $2$ белых и $5$ чёрных, а в третьей — $10$ чёрных шаров. Из случайно выбранной урны наудачу вынут шар. С какой вероятностью он окажется белым?

Решение. Будем считать события $B_1, B_2, B_3$ выбором урны с соотвествующим номером, а событие $A$ — выбором белого шара. По условию задачи все события выбора урны равновероятны, значит:

${P}(B_1)~=~{P}(B_2)~=~{P}(B_3)~=~ \genfrac{}{}{}{0}{1}{3}$

Теперь найдём вероятность события $A$ при выборе каждой урны:

${P}(A \mid B_1) = \genfrac{}{}{}{0}{3}{7} ,~ {P}(A \mid B_2) = \genfrac{}{}{}{0}{2}{7} ,~ {P}(A \mid B_3) = 0.$

В результате получаем ${P}(A) ~=~ \genfrac{}{}{}{0}{1}{3} \cdot \genfrac{}{}{}{0}{3}{7} +\genfrac{}{}{}{0}{1}{3} \cdot \genfrac{}{}{}{0}{2}{7} +\genfrac{}{}{}{0}{1}{3} \cdot 0 ~\approx ~ 0{.}238$

Пример 2

Рассмотрим пример из введения.

Решение. Обозначим за событие $A$ — выбрана деталь отличного качества, тогда событие $B_i$ — выбранная деталь изготовлена в $i$ цехе (где $i ~=~ 1,2,3$).

${P}(B_1) = \genfrac{}{}{}{0}{10}{40} = \genfrac{}{}{}{0}{1}{4},~ {P}(B_2) = \genfrac{}{}{}{0}{25}{40} = \genfrac{}{}{}{0}{5}{8},~ {P}(B_3) = \genfrac{}{}{}{0}{5}{40} = \genfrac{}{}{}{0}{1}{8}.$

По условию задачи, вероятности производства продукции отличного качества в каждом цехе:

${P}(A \mid B_1) = {P}(A \mid B_2) = \genfrac{}{}{}{0}{9}{10},~ {P}(A \mid B_3) = \genfrac{}{}{}{0}{7}{10}.$

Теперь восползуемся формулой полной вероятности для нахождения искомой вероятности:

${P}(A) ~=~ \sum\limits_{i=1}^3 {P}(A \mid B_i) {P}(B_i) ~=~ \genfrac{}{}{}{0}{9}{10} \cdot \genfrac{}{}{}{0}{1}{4} +\genfrac{}{}{}{0}{9}{10} \cdot \genfrac{}{}{}{0}{5}{8} +\genfrac{}{}{}{0}{7}{10} \cdot \genfrac{}{}{}{0}{1}{8} ~=~ 0{.}775$

См. также

• Условная вероятность
• Формула Байеса

Источники

• NSU | Формула полной вероятности
• Конспект лекций | Теория вероятностей