Задача о минимуме/максимуме скалярного произведения

Задача о минимуме/максимуме скалярного произведения - задача о нахождении минимальной/максимальной суммы попарных произведений для двух заданных упорядоченных наборов чисел.

Решение

Скалярным произведением двух упорядоченных последовательностей чисел будем называть число [math]S = x_1 y_1 + x_2 y_2 + ... + x_m y_m[/math]

Теорема (о минимуме/максимуме скалярного произведения):

Минимум скалярного произведения достигается при сопоставлении возрастащей последовательности [math]x_1..x_m[/math] и убывающей последовательности [math]y_1..y_m[/math]. При сопоставлении возрастающей [math]y_1..y_m[/math] достигается максимум.

Доказательство:

[math]\triangleright[/math]

1. Будем считать, что [math]x_i[/math] отсортирована по возрастанию. 2. Покажем, что если существуют пары чисел [math](x_i, y_i)[/math] и [math](x_j, y_j)[/math], такие что [math]x_i \lt x_j[/math] и [math]y_i \lt y_j[/math], то скалярное произведение можно уменьшить, поменяв местами [math]y_i[/math] и [math]y_j[/math]. Так так [math](x_j - x_i)(y_j - y_i) \gt 0[/math], то [math]x_i y_i + x_j y_j \gt x_j y_i + x_i y_j[/math]. 3.Проделав такую замену для всех [math]y_i \lt y_j[/math] получим отсортированную по убыванию последовательность [math]y_i[/math]. 4. Аналогично для получения максимума во всех парах чисел [math](x_i, y_i)[/math] и [math](x_j, y_j)[/math], таких что [math]x_i \lt x_j[/math] и [math]y_i \gt y_j[/math] нужно менять местами [math]y_i[/math] и [math]y_j[/math]. В результате получится отсортированная по возрастанию последовательность.

[math]\triangleleft[/math]

Примечание

• Данная теорема также широко известна как транс-неравенство или перестановочное неравенство.

Литература

1. Романовский И. В. Дискретный анализ. — 3-е изд. — СПб.: Невский Диалект; БХВ-Петербург, 2003. — С. 320.