Сопряжённый оператор

Эта статья находится в разработке!

Все рассматриваемые далее пространства считаем Банаховыми.

Определение:

$E^*$ — множество линейных непрерывных функционалов над $E$, его называют пространством, сопряженным к $E$. Аналогично, $E^{**}$ — пространство, сопряженное к $E^*$.

Естественное вложение

Утверждение:

Между $E$ и $E^{**}$ существует так называемый естественный изоморфизм, сохраняющий норму точки.

$\triangleright$

Введем $F_x$ следующим образом: $\forall x \in E : F_x (f) = f(x), f \in E^{*}$. $F_x : E^{*} \to \mathbb{R}$ — функционал, заданный на $E^{*}$, то есть $F_x \in E^{**}$. Тогда само $F$ отображает $E$ в $E^{**}$. $F$ линейно: $F_{\alpha x_1 + \beta x_2} = \alpha F_{x_1} + \beta F_{x_2}$. $| F_x(f) | = |f(x)| \le \| f \| \| x \|$, откуда $\| F_x \| \le \| x \|$. С другой стороны, по следствию из теоремы Хана-Банаха, для любого $x_0 \in E$ существует $f_0 \in E^*$, такое, что выполняются два условия: $f_0(x_0) = \| x_0 \|$ $\| f_0 \| = 1$. $| F_{x_0} (f_0) | = f_0 (x_0) = \| x_0 \|, \| f_0 \| = 1$, потому получаем, что $\| F_{x_0} \| \ge \| x_0 \| \implies \| F_{x_0} \| = \| x_0 \|$. Значит, получившееся преобразование $x \mapsto F_x$ — изометрия, $\| x \| = \| F_x \|$, получили естественное вложение $E$ в $E^{**}$.

$\triangleleft$

Определение:

$E$ называется рефлексивным, если $E$ будет совпадать с $E^{**}$ при таком отображении.

Например, гильбертово пространство $H$ рефлексивно (следует из теоремы Рисса об общем виде линейного функционала).

$C[0, 1]$ не является рефлексивным.

Сопряженный оператор

Пусть оператор $A$ действует из $E$ в $F$, и функционал $\varphi$ принадлежит $F^*$.

Рассмотрим $f(x) = \varphi (Ax), | f(x) | \le \| \varphi \| \| A \| \| x \|$.

Получили новый функционал $f$, принадлежащий $E^*$. $\varphi \mapsto \varphi A$.

$\varphi A = A^* (\varphi), A^* : F^* \to E^*$. $A^*$ — сопряженный оператор к $A$.

Теорема:

Если $A$ — линейный ограниченный оператор, то $\| A^* \| = \| A \|$.

Доказательство:

$\triangleright$

Возьмем $x \in E, \varphi \in F^*$. $| A^* (\varphi, x) | = | \varphi (Ax) | \le \| A \| \| \varphi \| \| x \|$. Получили, что $\| A^* (\varphi) \| \le \| A \| \| \varphi \|$, откуда $\| A^* \| \le \| A \|$. Для доказательства в обратную сторону используем следствие из теоремы Хана-Банаха: По определению нормы: $\forall \varepsilon \gt 0 \, \exists x: \| x \| = 1 \implies \| A \| - \varepsilon \lt \| Ax \|$. $Ax \in F$, по следствию из теоремы Хана-Банаха подберем $\varphi_0 \in F^*, \| \varphi_0 \| = 1: \varphi_0 (Ax) = \| Ax \|$. $\| A^*(\varphi_0, x) \| = | \varphi_0(Ax) | = \| Ax \| \gt \| A \| - \varepsilon$. $\| A^*(\varphi_0, x) \| \le \| A^*(\varphi_0) \| \| x \| = \| A^*(\varphi_0) \| \le \| A^* \| \| \varphi_0 \| = \| A^* \|$. Соединяя эти два неравенства, получаем, что $\forall \varepsilon \gt 0: \| A^* \| \gt \| A \| - \varepsilon$. Устремляя $\varepsilon$ к нулю, получаем, что $\| A^* \| \ge \| A \|$, и, окончательно, $\| A^* \| = \| A \|$.

$\triangleleft$

Примеры сопряженных операторов

Возьмем любое гильбертово пространство $H$, $A : H \to H$.

$\forall \varphi \in H^*$ по теореме Рисса об общем виде линейного функционала в $H$ существует единственный $z : \varphi (y) = \langle y, z \rangle, \| \varphi \| = \| z \|$.

Поскольку $x \mapsto \varphi (Ax)$ также является линейным функционалом $H \to H$, то $\varphi (Ax) = \langle Ax, z \rangle = \langle x, y \rangle$, где $y$ не зависит от $x$.

Имеем отображение $z \mapsto y$, тогда $y = A^*(z)$, и окончательно:

$\langle Ax, z \rangle = \langle x, A^*z \rangle$.

В гильбертовом пространстве $H$ сопряженный оператор — тот оператор, который позволяет писать равенство выше.

Определение:

Оператор $A$ в гильбертовом пространстве называется самосопряженным, если $A = A^*$

В случае $\mathbb{R}^n$ (частный случай $H$) оператор $A : \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^n$ представляет собой матрицу размером $n \times n$. Сопряженный к $A$ оператор получается транспонированием соответствующей матрицы: $A^* = A^T$. Для симметричной матрицы $A$ получается $A^* = A^T = A$, то есть, если $A$ — симметричная матрица, то $A$ — самосопряженный оператор.

Рассмотрим теперь пространство $E = L_p [0, 1]$.

Пусть $K(u, v) : [0, 1] \times [0, 1] \to \mathbb{R}$ — непрерывная функция на $[0, 1] \times [0, 1]$, $x \in E$.

Интегральный оператор $A$, действующий из $L_p [0, 1]$ в $L_p [0, 1]$ определяется так: $A(x, s) = (Ax)(s) = \int\limits_0^1 K(s, t) x(t) dt$. $Ax \in E$.

Построим сопряженный оператор:

По теореме об общем виде линейного функционала в $L_p$ TODO: Ее у нас в курсе не было. Спросить у Додонова, что с ней делать.,

$\forall \varphi \in E^*, x \in E: \varphi(x) = \int\limits_0^1 y(t) x(t) dt, y \in L_q$, где $\frac 1p + \frac 1q = 1$ ($p$ и $q$ называются сопряженными показателями).

$L_p^* = L_q$.

$A^*(\varphi, x) = \varphi (Ax) = \int\limits_0^1 y(s) (Ax)(s) ds = \int\limits_0^1 y(s) (\int\limits_0^1 K(s, t) x(t) dt) ds =$ (по теореме Фубини поменяем порядок интегрирования) $= \int\limits_0^1 ( \int\limits_0^1 K(s, t) y(s) ds) x(t) dt$

Получили, что $A^*(\varphi, x) = \int\limits_0^1 ( \int\limits_0^1 K(s, t) y(s) ds) x(t) dt$. Обозначим $z(t) = \int\limits_0^1 K(s, t) y(s) ds$, тогда $A^* (\varphi) \equiv z$, аналогично $\varphi \equiv y$.

$A^*$ — интегральный оператор из $L_q$, имеющий ядро $K^*(s, t) = K(t, s)$. В частности, если ядро симметрично ($K(s, t) = K(t, s)$) и $k = 2$, то $A = A^*$.

Ортогональное дополнение

Важное значение имеет ортогональное дополнение (в любом нормированном пространстве):

Определение:

Пусть $E$ — НП, $S \subset E^*$. $S^{\bot} = \{ x \in E \mid \forall f \in S: f(x) = 0 \}$ — ортогональное дополнение $S$. Аналогично, если $T \subset E$, то $T^{\bot} = \{ f \in E^* \mid \forall x \in T: f(x) = 0 \}$.

Утверждение:

$\{ 0 \} = (E^*)^{\bot}, \{ 0 \} = E^{\bot}$.

$\triangleright$

Оба включения $\subset$ очевидны по определению. В обратную сторону: Пусть $x \in (E^*)^{\bot}$, тогда $\forall f \in E^*: f(x) = 0$. Предположим, что $x \neq 0$, тогда по следствию из теоремы Хана-Банаха, для такого $x$, найдется функционал $f: f(x) = \| x \| \neq 0$, получили противоречие, что $x \in (E^*)^{\bot}$. Пусть $f \in E^\bot$, тогда $\forall x \in E: f(x) = 0$. Тогда $f$ — нулевой функционал по определению.

$\triangleleft$

Теоремы о множестве значений оператора

Теорема 1

Теорема:

$A \in \mathcal{L}(E,F) \implies \operatorname{Cl} R(A) = (\operatorname{Ker} A^*)^\perp$.

Доказательство:

$\triangleright$

$\Longrightarrow$: $\varphi \in \operatorname{Ker}A^*$, $A^* \varphi = 0$. $\forall x \in E: A^*(\varphi, x) = 0, A^*(\varphi, x) = \varphi(A x) \implies \varphi(A x) = 0$ Пусть $y \in R(A)$, тогда $y = Ax$. $\varphi y = \varphi(A x) = 0$, следовательно, $R(A)\subset(\operatorname{Ker}A^*)^\perp$. Теперь, пусть $y \in \operatorname{Cl} R(A)$, тогда $y = \lim y_n, y_n \in R(A)$. $\varphi(y_n) = 0, \varphi(y_n) \xrightarrow[]{n \to \infty} \varphi(y) \implies \varphi(y) = 0$, и $\operatorname{Cl}(R(A)) \subset (\operatorname{Ker}(A^*))^\perp$ $\Longleftarrow$: Надо показать, что $y \in (\operatorname{Ker}A^*)^\perp \implies y \in \operatorname{Cl} R(A)$. Пусть это не так: $y \notin \operatorname{Cl} R(A)$. Рассмотрим $F_1 = \{ z + ty \mid z \in \operatorname{Cl}(R(A)), t \in \mathbb{R} \}$. $F_1$ — линейное множество в силу линейности $\operatorname{Cl}(R(A))$. Покажем, что $F_1$ -- подпространство $F$. Проверим сначала замкнутость $F_1$: Пусть $z_n+t_{n}y \to u = z + ty$, хотим убедиться в том, что $u \in \operatorname{Cl} R(F_1)$. Если $|t_{n}| \le const$, то выберем $t_{n_k}$, стремящееся к какому-то $t$. Из $z_n+t_{n}y \to u, t_{n_k}y \to ty$ получаем $z_n \to z \in \operatorname{Cl}(A)$. Если допустить, что $t_{n_k} \to \infty$: $z_{n_k}+t_{n_k}y \to u$. $z_{n_k}/t_{n_k} + y \to 0 \implies z_{n_k}/t_{n_k} \to -y \implies -y \in \operatorname{Cl}(R(A)) \implies y \in \operatorname{Cl}(R(A))$ — противоречие. Таким образом, $\operatorname{Cl}(F_1) = F_1$. Построим на $F_1$ фунционал $\varphi_0 : \varphi_0(z+ty) = t$, $\varphi_0(z) = 0$. Этот функционал обнуляется на $\operatorname{Cl}(R(A))$. Он, очевидно, непрерывен, а по теореме Хана-Банаха с сохранением напрерывности его можно продолжить на $F: \widetilde{\varphi} \in F^*$, причем так, что $\widetilde{\varphi}\mid _{F_1} = \varphi_0$ $\forall y \in \operatorname{Cl}(R(A)): \widetilde{\varphi_0}(y) = 0$. C другой стороны, $\widetilde{\varphi_0}(y) = 1$ — противоречие, т.к. $y \in (\operatorname{Ker}A^*)^\perp$, следовательно, $y \in \operatorname{Cl}(R(A))$. P.S. Мне кажется, понятнее так: Вот у нас есть $\tilde{\varphi}$. Что такое $Ker A^*$? Это такие $\varphi$, что $A^*\varphi = 0$ или, тоже самое, $\varphi (Ax) = 0$(т.е. это функции, которые обнуляются на элементах из $Cl R(A)$. Наша функция $\tilde{\varphi}$ как раз имеет такое свойство, то есть $\tilde{\varphi} \in Ker A^{*}$. Теперь заметим, что $\tilde{\varphi}(y) \neq 0(= 1)$(y - которое мы рассматриваем сначала), но $y \in (Ker A^*)^\perp$(т.е. должен давать 0 на элементах $Ker A^*$ в т.ч. и на $\tilde{\varphi}$). Противоречие

$\triangleleft$

Теорема 2

Теорема:

$A \in \mathcal{L}(E,F),~R(A) = \operatorname{Cl} R(A) \implies R(A^*) = (\operatorname{Ker}A )^\perp$.

Доказательство:

$\triangleright$

1) $f \in R(A^*) \implies f = \varphi A , \varphi \in F^*$. Рассмотрим $x \in (\operatorname{Ker}A).$ $f(x) = \varphi(Ax) = \varphi(0) = 0 \implies R(A^*) \subset (\operatorname{Ker}A )^\perp$. 2) Докажем теперь обратное включение: Рассмотрим $f \in (\operatorname{Ker}A )^\perp$, если $Ax=0$, то $f(x)=0$. Надо показать, что $f \in R(A^*)$, т.е. проверить, что $f = \varphi A^*$. Если найдем $\varphi$, заданный на $R(A)$ (которое замкнуто TODO: где здесь нужна замкнутость?), то сможем продолжить его на все $F$ по теореме Хана-Банаха. Рассмотрим произвольное $y \in R(A)$, пусть $y = Ax$ и $y = Ax'$. Тогда $A(x - x') = 0$, то есть $x - x' \in \operatorname{Ker} A$, $f(x - x') = 0$, и $f(x) = f(x')$, то есть, значение функционала не зависит от того, какой конкретно $x$ (при $Ax = y$) был выбран. Тогда можно взять $\varphi(y) = f(x)$, где $y = Ax$ — линейный функционал, $f = \varphi A$. Осталось проверить ограниченность $\varphi$ на $R(A)$. Рассмотрим $E/_{\operatorname{Ker} A}$, $\widetilde{A} : E/_{\operatorname{Ker} A} \to F$, $\widetilde{A}([x]) = Ax$. $\widetilde{A} : E/_{\operatorname{Ker} A} \to R(A)$ — биекция, $R(A)$ — замкнуто, $F$ — банахово, поэтому $R(A)$ — также банахово как подпространство в $F$. Тогда по теореме Банаха об обратном операторе существует линейный ограниченный оператор $\widetilde{A}^{-1}$, $\| \widetilde{A}^{-1} \| \le m \|y\| \le 2m \|y\|$ TODO: а последнее неравенство зачем?. Если $\xi \in E/_{\operatorname{Ker} A}, \xi = [x]$, то $\|\xi\| = \inf\limits_{x\in \xi} \|x\|$. $\widetilde{A}^{-1}(y) = \{ x: y = Ax \}$ $\|\widetilde{A}^{-1}(y)\| = \inf\limits_{x\in \widetilde{A}^{-1}(y)} \|x\| \lt 2m \|y\|$, следовательно, существует $x' = A^{-1}y, \|x'\| \lt 2m\|y\|$. $\|\varphi(y)\| = \|f(x')\| \le \|f\|\|x'\| \lt (2m\|f\|)\|y\|$, то есть, получили ограниченность $\varphi$, теорема доказана.

$\triangleleft$

Эти две теоремы являются наиболее общей формой записи условий разрешимости операторных уравнений.

Смысл: рассмотрим уравнение $Ax = y$, где $y$ — дано. Для того, чтобы понять, разрешимо ли уравнение, нужно проверить, что $y \in R(A)$. В общем случае, не существует способа это сделать, но можно ограничиться проверкой $R(A) = \operatorname{Cl} R(A)$, и тогда $R(A) = (\operatorname{Ker}A^*)^\bot$, сопряженный оператор можно построить, ядро поддается конструктивному описанию: $y \in R(A) \iff y \perp \operatorname{Ker} A^*$.

Например, $A: \mathbb{R}^m \to \mathbb{R}^n$, $A^* = A^\top : \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^m$. $R(A) = \operatorname{Cl} R(A)$, $Ax = y$, $y$ — дано. Надо смотреть $y \perp \operatorname{Ker} A^*$, то есть $A^\top y = 0$.

В следующих параграфах мы введем класс бесконечномерных операторов, для которых $R(A)$ — замкнуто, в частности, в этот класс входят интегральные операторы.