Основная теорема арифметики — различия между версиями
(Новая страница: «{{В разработке}} ==Эквивалентность двух определений простых чисел== ==Основная теорема ариф…») |
|||
| Строка 4: | Строка 4: | ||
==Основная теорема арифметики== | ==Основная теорема арифметики== | ||
| + | |||
| + | ===Лемма Евклида=== | ||
| + | |||
| + | {{Лемма | ||
| + | |id=th1 | ||
| + | |statement= | ||
| + | Если простое число <math>p</math> делит без остатка произведение двух целых чисел <math>x\cdot y</math>, то <math>p</math> делит <math>x</math> или <math>y</math>. | ||
| + | |proof= | ||
| + | Пусть <math>x\cdot y</math> делится на <math>p</math>, но <math>x</math> не делится на <math>p</math>. Тогда <math>x</math> и <math>p</math> — взаимно простые, следовательно, найдутся такие целые числа <math>u</math> и <math>v</math>, что | ||
| + | : <math>x\cdot u+p\cdot v=1</math> (соотношение Безу). | ||
| + | Умножая обе части на <math>y</math>, получаем | ||
| + | : <math>(x\cdot y)\cdot u+p\cdot v\cdot y=y.</math> | ||
| + | Оба слагаемых левой части делятся на <math>p</math>, значит, и правая часть делится на <math>p</math>, ч.т.д. | ||
| + | }} | ||
[[Категория: Классы чисел]] | [[Категория: Классы чисел]] | ||
Версия 15:54, 30 июня 2010
Эта статья находится в разработке!
Эквивалентность двух определений простых чисел
Основная теорема арифметики
Лемма Евклида
| Лемма: |
Если простое число делит без остатка произведение двух целых чисел , то делит или . |
| Доказательство: |
|
Пусть делится на , но не делится на . Тогда и — взаимно простые, следовательно, найдутся такие целые числа и , что
Умножая обе части на , получаем |
