Удаление цепных правил из грамматики

Определение:

Цепное правило — правило вида [math]A\rightarrow B[/math], где [math]A[/math] и [math]B[/math] — нетерминалы.

Постановка задачи

Пусть [math]\Gamma[/math] — контекстно-свободная грамматика, содержащая цепные правила. Требуется построить эквивалентную грамматику [math]\Gamma'[/math], не содержащую цепных правил.
Задача удаления цепных правил из грамматики возникает при попытке её приведения к нормальной форме Хомского.

Алгоритм

Определение:

Цепная пара — упорядоченная пара [math](A,B)[/math], в которой [math]A\Rightarrow ^* B[/math], используя только цепные правила.

Алгоритм удаления цепных правил из грамматики:

1. Найти все цепные пары в грамматике [math]\Gamma[/math].
2. Для каждой цепной пары [math](A,B)[/math] добавить в грамматику [math]\Gamma'[/math] все правила вида [math]A\rightarrow\alpha[/math], где [math]B\rightarrow\alpha[/math] — нецепное правило из [math]\Gamma[/math].
3. Удалить все цепные правила

Найти все цепные пары можно по индукции:

Базис. [math](A,A)[/math] — цепная пара для любого нетерминала, так как [math]A\Rightarrow ^* A[/math] за ноль шагов.

Индукция. Если пара [math](A,B)[/math] — цепная, и есть правило [math]B\rightarrow C[/math], то [math](A,C)[/math] — цепная пара.

Нетрудно понять, что такой алгоритм найдет все цепные правила грамматики [math]\Gamma[/math], и только их.

Корректность алгоритма

Теорема:

Пусть [math]\Gamma[/math] — контекстно-свободная грамматика. [math]\Gamma'[/math] — грамматика, полученная в результате применения алгоритма к [math]\Gamma[/math]. Тогда [math]L(\Gamma) = L(\Gamma').[/math]

Доказательство:

[math]\triangleright[/math]

[math]\Rightarrow [/math] Покажем, что [math]L(\Gamma) \subset L(\Gamma')[/math]. Пусть [math]w\in L(\Gamma)[/math]. Тогда [math]w[/math] имеет левое порождение [math]S\overset{*}{\underset{lm}{\Rightarrow}} w[/math]. Где бы в левом порождении ни использовалось цепное правило, нетерминал в правой части становится крайним слева в выводимой цепочке и сразу же заменяется. Таким образом, левое порождение в [math]\Gamma[/math] можно разбить на последовательность шагов, в которых ноль или несколько цепных правил сопровождаются нецепным. Заметим, что любое нецепное правило, перед которым нет цепных, образует такой шаг. Но по построению [math]\Gamma'[/math] каждый из этих шагов может быть выполнен одним её правилом. Таким образом, [math]S\overset{*}{\underset{\Gamma'}{\Rightarrow}} w[/math], то есть [math]w\in L(\Gamma')[/math]. [math]\Leftarrow [/math] Покажем, что [math]L(\Gamma') \subset L(\Gamma)[/math]. Пусть [math]w\in L(\Gamma')[/math], то есть [math]S\overset{*}{\underset{\Gamma'}{\Rightarrow}} w[/math]. Так как каждое правило [math]\Gamma'[/math] эквивалентно последовательности из нуля или нескольких цепных правил [math]\Gamma[/math], за которой следует нецепное правило из [math]\Gamma[/math], то из [math]\alpha{\underset{\Gamma'}{\Rightarrow}} \beta[/math] следует [math]\alpha\overset{*}{\underset{\Gamma}{\Rightarrow}} \beta[/math]. Таким образом, каждый шаг порождения в [math]\Gamma'[/math] может быть заменен одним или несколькими шагами в [math]\Gamma[/math]. Собрав эти последовательности шагов, получим, что [math]S\overset{*}{\underset{\Gamma}{\Rightarrow}} w[/math], то есть [math]w\in L(\Gamma)[/math].

[math]\triangleleft[/math]

Литература

• Хопкрофт Д., Мотвани Р., Ульман Д. — Введение в теорию автоматов, языков и вычислений, 2-е изд. : Пер. с англ. — Москва, Издательский дом «Вильямс», 2002. — 528 с. : ISBN 5-8459-0261-4 (рус.)