Цепные дроби как приближение к числу — различия между версиями
(→Теорема 2) |
|||
| Строка 1: | Строка 1: | ||
Цепные дроби позволяют находить рациональные приближения вещественных чисел. Если действительное иррациональное число <math>\alpha</math> разложить в цепную дробь, то точность n-ой подходящей дроби будет соответствовать следующему неравенству: | Цепные дроби позволяют находить рациональные приближения вещественных чисел. Если действительное иррациональное число <math>\alpha</math> разложить в цепную дробь, то точность n-ой подходящей дроби будет соответствовать следующему неравенству: | ||
<math>~|\alpha-\frac{P_i}{Q_i}| < \frac{1}{Q_i * Q_{i+1}} < \frac{1}{Q_i^2}</math> | <math>~|\alpha-\frac{P_i}{Q_i}| < \frac{1}{Q_i * Q_{i+1}} < \frac{1}{Q_i^2}</math> | ||
| − | + | ||
==Теорема 1== | ==Теорема 1== | ||
Для любого иррационального числа <math>\alpha</math> существует бесконечное число дробей <math>\frac{P}{Q}</math> таких, что <math>~|\alpha-\frac{P}{Q}|<\frac{1}{2Q^2}</math> | Для любого иррационального числа <math>\alpha</math> существует бесконечное число дробей <math>\frac{P}{Q}</math> таких, что <math>~|\alpha-\frac{P}{Q}|<\frac{1}{2Q^2}</math> | ||
| Строка 8: | Строка 8: | ||
Но поскольку <math>\alpha</math> лежит между <math>\frac{P_k}{Q_k}</math> и <math>\frac{P_{k+1}}{Q_{k+1}}</math>, то <math>~|\alpha-\frac{P_k}{Q_k}|+~|\alpha-\frac{P_{k+1}}{Q_{k+1}}| = ~|\frac{P_k}{Q_k}-\frac{P_{k+1}}{Q_{k+1}}| = \frac{1}{Q_k Q_{k+1}}</math>, вследствие чего <math>\frac{1}{2Q_k^2}+\frac{1}{2Q_{k+1}^2}\leqslant\frac{1}{Q_k Q_{k+1}}</math>. Следовательно <math>(\frac{1}{Q_k}-\frac{1}{Q_{k+1}})^2 \leqslant 0</math>, что невозможно. Мы пришли к противоречию. Поэтому по крайней мере для одной из двух подходящих дробей выполнено условие теоремы. Придавая различные значения k, получим бесконечное множество дробей, удовлетворяющих условию теоремы. q.e.d. | Но поскольку <math>\alpha</math> лежит между <math>\frac{P_k}{Q_k}</math> и <math>\frac{P_{k+1}}{Q_{k+1}}</math>, то <math>~|\alpha-\frac{P_k}{Q_k}|+~|\alpha-\frac{P_{k+1}}{Q_{k+1}}| = ~|\frac{P_k}{Q_k}-\frac{P_{k+1}}{Q_{k+1}}| = \frac{1}{Q_k Q_{k+1}}</math>, вследствие чего <math>\frac{1}{2Q_k^2}+\frac{1}{2Q_{k+1}^2}\leqslant\frac{1}{Q_k Q_{k+1}}</math>. Следовательно <math>(\frac{1}{Q_k}-\frac{1}{Q_{k+1}})^2 \leqslant 0</math>, что невозможно. Мы пришли к противоречию. Поэтому по крайней мере для одной из двух подходящих дробей выполнено условие теоремы. Придавая различные значения k, получим бесконечное множество дробей, удовлетворяющих условию теоремы. q.e.d. | ||
| − | ==Теорема | + | ==Теорема 2== |
Для любого иррационального числа <math>\alpha</math> существует бесконечное число дробей <math>\frac{P}{Q}</math> таких, что <math>~|\alpha-\frac{P}{Q}|<\frac{1}{\sqrt{5}Q^2}</math> | Для любого иррационального числа <math>\alpha</math> существует бесконечное число дробей <math>\frac{P}{Q}</math> таких, что <math>~|\alpha-\frac{P}{Q}|<\frac{1}{\sqrt{5}Q^2}</math> | ||
===Доказательство=== | ===Доказательство=== | ||
Версия 11:10, 21 июня 2010
Цепные дроби позволяют находить рациональные приближения вещественных чисел. Если действительное иррациональное число разложить в цепную дробь, то точность n-ой подходящей дроби будет соответствовать следующему неравенству:
Теорема 1
Для любого иррационального числа существует бесконечное число дробей таких, что
Доказательство
Рассмотрим две последующие подходящие дроби к и . Пусть ни одна из них не удовлетворяет условию теоремы. Тогда имеем: . Отсюда . Но поскольку лежит между и , то , вследствие чего . Следовательно , что невозможно. Мы пришли к противоречию. Поэтому по крайней мере для одной из двух подходящих дробей выполнено условие теоремы. Придавая различные значения k, получим бесконечное множество дробей, удовлетворяющих условию теоремы. q.e.d.
Теорема 2
Для любого иррационального числа существует бесконечное число дробей таких, что
Доказательство
Рассмотрим три последующие подходящие дроби к и . Пусть ни одна из них не удовлетворяет условию теоремы. Тогда имеем: .
Так как и расположены по разные стороны от , то при нечётном имеем , а при чётном - .
Из последних двух неравенств следует, что . Умножив обе части на и перенеся все члены в левую часть получим: . То есть , следовательно для целых и имеем .
Так как и расположены по разные стороны от , то аналогично получаем .
Пользуясь рекуррентным соотношением получаем . Пришли к противоречию. Значит для одной из трёх последовательных подходящих дробей будет выполняться условие теоремы. Тогда придавая различные значения получим бесконечно много дробей, для которых выполняется условие теоремы. q.e.d.
