Независимые случайные величины

Определения

Определение:

Cлучайные величины [math] \xi[/math] и [math]\eta[/math] называются независимыми, если [math]\forall \alpha ,\beta \in \mathbb R[/math] события [math][ \xi \leqslant \alpha ][/math] и [math][ \eta \leqslant \beta ][/math] независимы. [math]P((\xi \leqslant \alpha) \cap (\eta \leqslant \beta)) = P(\xi \leqslant \alpha)·P(\eta \leqslant \beta)[/math]

Иначе говоря, две случайные величины называются независимыми, если по значению одной нельзя сделать выводы о значении другой.

Независимость в совокупности

Определение:

Случайные величины [math]\xi_1,...,\xi_n[/math] называются независимы в совокупности, если события [math]\xi_1 \leqslant \alpha_1,...,\xi_n \leqslant \alpha_n[/math] независимы в совокупности.

Примеры

Честная игральная кость

Рассмотрим вероятностное пространство «честная игральная кость»: [math]\Omega = \mathcal {f} 1, 2, 3, 4, 5, 6 \mathcal {g}[/math], [math]\xi (i) = i~mod~2[/math], [math]\eta (i) = \mathcal {b} i / 3 \mathcal {c}[/math]. Для того, чтобы показать, что величины [math]\xi[/math] и [math]\eta[/math] независимы, надо рассмотреть все [math]\alpha[/math] и [math]\beta[/math].

Для примера рассмотрим: [math]\alpha = 0[/math], [math]\beta = 0[/math]. Тогда [math]P( \xi \leqslant 0) = \frac{1}{2}[/math], [math]P( \eta \leqslant 0) = \frac{1}{3}[/math], [math]P((\xi \leqslant 0) \cap (\eta \leqslant 0)) = \frac{1}{6}[/math].

Аналогичным образом можно проверить, что для оставшихся значений [math]\alpha[/math] и [math]\beta[/math] события также являются независимыми, а это значит, что случайные величины [math]\alpha[/math] и [math]\beta[/math] независимы.

Тетраэдр

Рассмотрим вероятностное пространство «тетраэдр». Каждое число соответствует грани тетраэдра (по аналогии с игральной костью): [math]\Omega = \mathcal {f} 0, 1, 2, 3 \mathcal {g}[/math]. [math]\xi (i) = i~mod~2[/math], [math]\eta(i) = \left \lfloor i / 2 \right \rfloor[/math].

Рассмотрим случай: [math]\alpha = 0[/math], [math]\beta = 1[/math]. [math]P(\xi \leqslant 0) = 1/2[/math], [math]P(\eta \leqslant 1) = 1[/math], [math]P((\xi \leqslant 0) \cap (\eta \leqslant 1)) = 1/2[/math].

Для этих значений [math]\alpha[/math] и [math]\beta[/math] события являются независимыми, так же, как и для других (рассматривается аналогично), поэтому эти случайные величины независимы.

Заметим, что если: [math]\xi (i) = i~mod~3[/math], [math]\eta(i) = \left \lfloor i / 3 \right \rfloor[/math], то эти величины зависимы: положим [math]\alpha = 0, \beta = 0[/math]. Тогда [math]P(\xi \leqslant 0) = 1/2[/math], [math]P(\eta \leqslant 0) = 3/4[/math], [math]P((\xi \leqslant 0) \cap (\eta \leqslant 1)) = 1/4 \neq P(\xi \leqslant 0) P(\eta \leqslant 0)[/math].

Литература и источники информации

Независимость случайных величин

Википедия: Независимость (теория вероятностей)