Независимые случайные величины

Определение:

Независимые случайные величины - [math] \xi[/math] и [math]\eta[/math] называются независимыми, если для [math]\forall \alpha ,\beta \in \mathbb R[/math] события [math][ \xi \leqslant \alpha ][/math] и [math][ \eta \leqslant \beta ][/math] независимы.

Иначе говоря, случайная величина [math]\xi[/math] называется независимой от величины [math]\eta[/math], если вероятность получить при измерениях некоторое значение величины [math]\xi[/math] не зависит от значения величины [math]\eta[/math].

Замечание

Стоить отметить, что если [math]\xi[/math] и [math]\eta[/math] - дискретные случайные величины, то достаточно рассматривать случай [math]\xi = \alpha[/math], [math]\eta = \beta[/math]. Но не достаточно рассматривать случай [math]\alpha = \beta[/math]. Покажем контр-пример для этого случая. Рассмотрим вероятностное пространство честная монета. [math]\Omega = \mathcal {f} 0, 1 \mathcal {g}[/math]. Пусть [math]\xi (i) = i[/math], [math]\eta(i) = i + 2[/math]. Если перебрать все значения [math]\alpha (\alpha = \beta[/math]), то можно показать, что события независимы. Но сами случайные величины не являются независимыми.

Пример

Честная игральная кость

Рассмотрим вероятностное пространство честная игральная кость [math]\Omega = \mathcal {f} 1, 2, 3, 4, 5, 6 \mathcal {g}[/math]. [math]\xi[/math] и [math]\eta[/math] - случайные величины. [math]\xi (i) = i \% 2[/math], [math]\eta (i) = [i \geqslant 3][/math]. Для того, чтобы показать, что они независимы, надо рассмотреть все [math]\alpha[/math] и [math]\beta[/math]. Для примера рассмотрим [math]\alpha = 0[/math], [math]\beta = 0[/math]. Тогда [math]P( \xi \leqslant 0) = \frac{1}{2}[/math], [math]P( \eta \leqslant 0) = \frac{2}{3}[/math], [math]P((\xi \leqslant 0) \cap (\eta \leqslant 0)) = \frac{1}{3}[/math]. Эти события независимы, а значит случайные величины [math]\xi[/math] и [math]\eta[/math] независимы.

Литература и источники информации

Википедия