Отношение рёберной двусвязности — различия между версиями

Материал из Викиконспекты
Перейти к: навигация, поиск
(→‎Реберная двусвязность)
Строка 21: Строка 21:
 
'''Транзитивность:''' <tex>(u, v)\in R </tex> и <tex>(v, w)\in R  \Rightarrow (u, w)\in R. </tex>
 
'''Транзитивность:''' <tex>(u, v)\in R </tex> и <tex>(v, w)\in R  \Rightarrow (u, w)\in R. </tex>
  
−
''Доказательство:'' Пусть <tex>P_1,P_2 : u \rightsquigarrow v </tex> (реберно-непересекающиеся пути) и  <tex>Q_1,Q_2 : v \rightsquigarrow w </tex> (реберно-непересекающиеся пути).
+
''Доказательство:'' Пусть из <tex> u </tex> в <tex> v </tex> есть два реберно не пересекающихся пути. Их объединение будет реберно-простым циклом.
−
 
+
Вершина <tex> w </tex> реберно двусвязна с <tex> v </tex>.
−
Составим пути <tex>S_1 = P_1 \circ Q_1 </tex> и <tex>S_2 = P_2 \circ Q_2 </tex>. Сделаем пути <tex>S_1, S_2 </tex> [[Теорема о существовании простого пути в случае существования пути|простыми]]. Получим два реберно-непересекающихся пути <tex>S_1, S_2 </tex>. Действительно, <tex>S_1 \land S_2 = \varnothing</tex>, так как <tex>P_1 \land P_2 = \varnothing </tex> (реберная двусвязность <tex>u</tex> и <tex>v</tex>), <tex>Q_1 \land Q_2 = \varnothing </tex> (реберная двусвязность <tex>w</tex> и <tex>v</tex>).
+
Идем по первому пути из <tex> w </tex> в <tex> v </tex> до пересечения с циклом(вершина <tex> a </tex>).
−
<tex>P_1 \land Q_2 = </tex> {какой-то путь} или <tex>P_2 \land Q_1 = </tex> {какой-то путь} не влияют на реберную двусвязность.
+
Идем по второму пути из <tex> w </tex> в <tex> v </tex> до пересечения с циклом(вершина <tex> b </tex>).
−
Утверждение доказано.
+
Забудем про дугу  <tex> (a, b) </tex> содержащую вершину <tex> v </tex>. Наличие двух реберно не пересекающихся путей из из <tex> u </tex> в <tex> w </tex> очевидно.
 +
 +
 
 
}}
 
}}
  

Версия 18:18, 14 октября 2011

Эта статья требует доработки!
  1. Доказательство транзитивности отношения реберной двусвязности некорректно (убедитесь в этом).

Если Вы исправили некоторые из указанных выше замечаний, просьба дописать в начало соответствующего пункта (Исправлено).

Реберная двусвязность

Определение:
Две вершины [math]u[/math] и [math] v[/math] графа [math]G[/math] называются реберно двусвязными, если между этими вершинами существуют два реберно непересекающихся пути.


Теорема:
Отношение реберной двусвязности является отношением эквивалентности на вершинах.
Доказательство:
[math]\triangleright[/math]

Пусть [math]R[/math] - отношение реберной двусвязности.

Рефлексивность: [math](u, u)\in R. [/math] (Очевидно)

Симметричность: [math](u, v)\in R \Rightarrow (v, u)\in R. [/math] (Очевидно)

Транзитивность: [math](u, v)\in R [/math] и [math](v, w)\in R \Rightarrow (u, w)\in R. [/math]

Доказательство: Пусть из [math] u [/math] в [math] v [/math] есть два реберно не пересекающихся пути. Их объединение будет реберно-простым циклом. Вершина [math] w [/math] реберно двусвязна с [math] v [/math]. Идем по первому пути из [math] w [/math] в [math] v [/math] до пересечения с циклом(вершина [math] a [/math]). Идем по второму пути из [math] w [/math] в [math] v [/math] до пересечения с циклом(вершина [math] b [/math]).

Забудем про дугу [math] (a, b) [/math] содержащую вершину [math] v [/math]. Наличие двух реберно не пересекающихся путей из из [math] u [/math] в [math] w [/math] очевидно.
[math]\triangleleft[/math]

Компоненты реберной двусвязности

Определение:
Компонентами реберной двусвязности графа, называют его подграфы, множества вершин которых - классы эквивалентности реберной двусвязности, а множества ребер - множества ребер из соответствующих классов эквивалентности.


См. также

Отношение вершинной двусвязности

Источник — «http://neerc.ifmo.ru/wiki/index.php?title=Отношение_рёберной_двусвязности&oldid=11102»