Цепная дробь - История изменений

Maintenance script: rollbackEdits.php mass rollback

2022-09-04T16:12:27Z

rollbackEdits.php mass rollback

94.16.121.91 в 06:03, 1 сентября 2022

2022-09-01T06:03:13Z

RomanSatyukov в 05:40, 7 июля 2010

2010-07-07T05:40:46Z

RomanSatyukov в 05:18, 7 июля 2010

2010-07-07T05:18:33Z

RomanSatyukov в 11:25, 3 июля 2010

2010-07-03T11:25:32Z

192.168.0.2: /* Доказательства свойств */

2010-07-03T04:29:45Z

‎Доказательства свойств

192.168.0.2 в 04:26, 3 июля 2010

2010-07-03T04:26:07Z

192.168.0.2 в 04:25, 3 июля 2010

2010-07-03T04:25:17Z

192.168.0.2: /* Доказательства свойств */

2010-07-03T04:24:59Z

‎Доказательства свойств

192.168.0.2: /* Свойства цепных дробей */

2010-07-03T04:15:02Z

‎Свойства цепных дробей

← Предыдущая		Версия 16:12, 4 сентября 2022
Строка 1:		Строка 1:
−	~~{\| class="wikitable" align="center" style="color: red; background-color: black; font-size: 56px; width: 800px;"~~
−	\|+
−	~~\|-align="center"~~
−	~~\|'''НЕТ ВОЙНЕ'''~~
−	~~\|-style="font-size: 16px;"~~
−	\|
−	24 февраля 2022 года российское руководство во главе с Владимиром Путиным развязало агрессивную войну против Украины. В глазах всего мира это военное преступление совершено от лица всей страны, всех россиян.
−
−	Будучи гражданами Российской Федерации, мы против своей воли оказались ответственными за нарушение международного права, военное вторжение и массовую гибель людей. Чудовищность совершенного преступления не оставляет возможности промолчать или ограничиться пассивным несогласием.
−
−	Мы убеждены в абсолютной ценности человеческой жизни, в незыблемости прав и свобод личности. Режим Путина — угроза этим ценностям. Наша задача — обьединить все силы для сопротивления ей.
−
−	Эту войну начали не россияне, а обезумевший диктатор. И наш гражданский долг — сделать всё, чтобы её остановить.
−
−	~~''Антивоенный комитет России''~~
−	~~\|-style="font-size: 16px;"~~
−	\|Распространяйте правду о текущих событиях, оберегайте от пропаганды своих друзей и близких. Изменение общественного восприятия войны - ключ к её завершению.
−	~~\|-style="font-size: 16px;"~~
−	\|[https://meduza.io/ meduza.io], [https://www.youtube.com/c/popularpolitics/videos Популярная политика], [https://novayagazeta.ru/ Новая газета], [https://zona.media/ zona.media], [https://www.youtube.com/c/MackNack/videos Майкл Наки].
−	\|}
−
	== Определение ==		== Определение ==
	{{Определение		{{Определение

← Предыдущая		Версия 06:03, 1 сентября 2022
Строка 1:		Строка 1:
		+	{\| class="wikitable" align="center" style="color: red; background-color: black; font-size: 56px; width: 800px;"
		+	\|+
		+	\|-align="center"
		+	\|'''НЕТ ВОЙНЕ'''
		+	\|-style="font-size: 16px;"
		+	\|
		+	24 февраля 2022 года российское руководство во главе с Владимиром Путиным развязало агрессивную войну против Украины. В глазах всего мира это военное преступление совершено от лица всей страны, всех россиян.
		+
		+	Будучи гражданами Российской Федерации, мы против своей воли оказались ответственными за нарушение международного права, военное вторжение и массовую гибель людей. Чудовищность совершенного преступления не оставляет возможности промолчать или ограничиться пассивным несогласием.
		+
		+	Мы убеждены в абсолютной ценности человеческой жизни, в незыблемости прав и свобод личности. Режим Путина — угроза этим ценностям. Наша задача — обьединить все силы для сопротивления ей.
		+
		+	Эту войну начали не россияне, а обезумевший диктатор. И наш гражданский долг — сделать всё, чтобы её остановить.
		+
		+	''Антивоенный комитет России''
		+	\|-style="font-size: 16px;"
		+	\|Распространяйте правду о текущих событиях, оберегайте от пропаганды своих друзей и близких. Изменение общественного восприятия войны - ключ к её завершению.
		+	\|-style="font-size: 16px;"
		+	\|[https://meduza.io/ meduza.io], [https://www.youtube.com/c/popularpolitics/videos Популярная политика], [https://novayagazeta.ru/ Новая газета], [https://zona.media/ zona.media], [https://www.youtube.com/c/MackNack/videos Майкл Наки].
		+	\|}
		+
	== Определение ==		== Определение ==
	{{Определение		{{Определение

@@ Строка 7: / Строка 7: @@
 Различают '''конечные и бесконечные''' цепные дроби. Любая конечная дробь <tex>\langle a_0, a_1, a_2, a_3,\ldots, a_n \rangle</tex> представима в виде некоторой рациональной дроби <tex>\frac{P_n}{Q_n}</tex>, которую называют '''n-ой подходящей дробью'''.
 }}
 == Цепные дроби как приближение к числу ==

@@ Строка 9: / Строка 9: @@
 == Цепные дроби как приближение к числу ==
-{{Main|Цепные дроби как приближение к числу}}
+{{Main|Цепные дроби как приближение к числу|Сходимость цепных дробей}}
 Подходящие дроби можно рассматривать как последовательные приближения к некоторому вещественному числу. При любых значениях <tex>a_i</tex>, удовлетворяющих требованиям определения цепной дроби, последовательность подходящих дробей имеет предел. Кроме того, скорость сходимости можно оценить как <tex>|\alpha-\frac{P_i}{Q_i}| < \frac{1}{Q_i^2}</tex>.

@@ Строка 20: / Строка 20: @@
 * <tex> \sqrt{2} = 1+\frac{1}{\sqrt{2}+1}=1+\frac{1}{2+\frac{1}{\sqrt{2}+1}}=\langle 1, 2, 2, \cdots \rangle</tex>
-Числитель и знаменатель цепной дроби можно записать в виде полиномов от переменных <tex>a_0, a_1, a_2,\cdots, a_n</tex>. При этом, поскольку числитель каждой дроби является знаменателем следующей, полиномы для числителей и знаменателей имеют одинаковый вид.
+== Свойства цепных дробей ==
-Таким образом, цепная дробь <tex>\langle a_0, a_1, a_2,\cdots, a_n \rangle </tex> представима в виде <tex> \frac{[a_0, a_1, a_2,\cdots, a_n]}{[a_1, a_2, a_3,\cdots, a_n]}</tex>, где <tex>[a_0, a_1, a_2,\cdots, a_n]</tex> {{---}} некоторый полином от
+{{Main|Свойства цепных дробей}}
-<tex>n+1</tex> переменной.
+Цепную дробь <tex>\langle a_0, a_1, a_2,\cdots, a_n \rangle</tex> можно записать в виде частного двух полиномов
-== Свойства цепных дробей ==
+Эти полиномы удовлетворяют следующим свойствам:
 * <tex>[a_0,\cdots, a_n]</tex> {{---}} полином от <tex>n+1</tex> переменной, состоящий из <tex>F_{n+1}</tex> мономов.
 * <tex>[a_0, a_1, a_2,\cdots, a_n] = a_0[a_1, a_2, a_3,\cdots, a_n] + [a_2, a_3, a_4,\cdots, a_n]</tex>.
 * <tex>[a_0, a_1, a_2,\cdots, a_n] = [a_0, a_1,\cdots, a_{n - 1}]a_n + [a_0, a_1,\cdots, a_{n-2}]</tex>.
-* Для числителей и знаменателей <tex>n</tex>-ой подходящей дроби верны следующие формулы:
+* <tex>[a_0, a_1, \cdots, a_n] = [a_n, a_{n-1}, \cdots, a_0] </tex>
-** <tex>P_n = P_{n-1}a_n + P_{n-2}</tex>
+Для числителей и знаменателей <tex>n</tex>-ой подходящей дроби верны следующие формулы:
-** <tex>Q_n = Q_{n-1}a_n + Q_{n-2}</tex>
+* <tex>P_n = P_{n-1}a_n + P_{n-2}</tex>
 * <tex>P_nQ_{n-1}-P_{n-1}Q_n=(-1)^{n+1}</tex>
 [[Категория: Теория чисел]]

@@ Строка 95: / Строка 95: @@
 <tex>P_nQ_{n-1}-P_{n-1}Q_n=(-1)^{n+1}</tex>.
 |proof=
-<tex>\left(\begin{array}{cc} P_n & P_{n-1} \\  Q_n & Q_{n-1} \end{array}\right)\left(\begin{array}{cc} a_{n+1} & 1 \\  1 & 0 \end{array}\right) = \left(\begin{array}{cc} P_{n+1} & P_n \\  Q_{n+1} & Q_n \end{array}\right)</tex>
+<tex>\left(\begin{array}{cc} P_n & P_{n-1} \\  Q_n & Q_{n-1} \end{array}\right)\left(\begin{array}{cc} a_{n+1} & 1 \\  1 & 0 \end{array}\right) = \left(\begin{array}{cc} P_{n+1} & P_n \\  Q_{n+1} & Q_n \end{array}\right)</tex> по рекуррентным соотношениям для числителей и знаменателей подходящих дробей.
 }}
 [[Категория: Теория чисел]]

@@ Строка 88: / Строка 88: @@
 Эта формула аналогична формуле из [[#lemma1|Леммы 1]], за исключением того, что <tex>a_n</tex> "отщепляются" с другого конца.
 Для получения формулы достаточно скомбинировать результаты [[#lemma1|Леммы 1]] и [[#theorem1|Теоремы 1]].
 }}
 [[Категория: Теория чисел]]