Факторгруппа - История изменений

Maintenance script: rollbackEdits.php mass rollback

2022-09-04T16:14:44Z

rollbackEdits.php mass rollback

185.220.102.8 в 05:47, 1 сентября 2022

2022-09-01T05:47:48Z

RomanSatyukov в 22:52, 17 сентября 2010

2010-09-17T22:52:51Z

192.168.0.2: /* Примеры */

2010-08-14T15:40:46Z

‎Примеры

192.168.0.2 в 19:03, 10 августа 2010

2010-08-10T19:03:56Z

192.168.0.2 в 20:45, 3 августа 2010

2010-08-03T20:45:54Z

192.168.0.2 в 20:43, 3 августа 2010

2010-08-03T20:43:50Z

192.168.0.2: /* Примеры */

2010-08-03T19:11:25Z

‎Примеры

192.168.0.2: /* Примеры */

2010-07-11T09:28:35Z

‎Примеры

192.168.0.2: /* Примеры */

2010-07-11T09:15:05Z

‎Примеры

← Предыдущая		Версия 16:14, 4 сентября 2022
Строка 1:		Строка 1:
−	~~{\| class="wikitable" align="center" style="color: red; background-color: black; font-size: 56px; width: 800px;"~~
−	\|+
−	~~\|-align="center"~~
−	~~\|'''НЕТ ВОЙНЕ'''~~
−	~~\|-style="font-size: 16px;"~~
−	\|
−	24 февраля 2022 года российское руководство во главе с Владимиром Путиным развязало агрессивную войну против Украины. В глазах всего мира это военное преступление совершено от лица всей страны, всех россиян.
−
−	Будучи гражданами Российской Федерации, мы против своей воли оказались ответственными за нарушение международного права, военное вторжение и массовую гибель людей. Чудовищность совершенного преступления не оставляет возможности промолчать или ограничиться пассивным несогласием.
−
−	Мы убеждены в абсолютной ценности человеческой жизни, в незыблемости прав и свобод личности. Режим Путина — угроза этим ценностям. Наша задача — обьединить все силы для сопротивления ей.
−
−	Эту войну начали не россияне, а обезумевший диктатор. И наш гражданский долг — сделать всё, чтобы её остановить.
−
−	~~''Антивоенный комитет России''~~
−	~~\|-style="font-size: 16px;"~~
−	\|Распространяйте правду о текущих событиях, оберегайте от пропаганды своих друзей и близких. Изменение общественного восприятия войны - ключ к её завершению.
−	~~\|-style="font-size: 16px;"~~
−	\|[https://meduza.io/ meduza.io], [https://www.youtube.com/c/popularpolitics/videos Популярная политика], [https://novayagazeta.ru/ Новая газета], [https://zona.media/ zona.media], [https://www.youtube.com/c/MackNack/videos Майкл Наки].
−	\|}
−
	== Факторгруппа ==		== Факторгруппа ==
	Рассмотрим [[группа\|группу]] <tex>G</tex> и ее [[нормальная подгруппа\|нормальную подгруппу]] <tex>H</tex>. Пусть <tex>G/H</tex> {{---}} множество [[Смежные классы\|смежных классов]] <tex>G</tex> по <tex>H</tex>. Определим в <tex>G/H</tex> групповую операцию по следующему правилу.		Рассмотрим [[группа\|группу]] <tex>G</tex> и ее [[нормальная подгруппа\|нормальную подгруппу]] <tex>H</tex>. Пусть <tex>G/H</tex> {{---}} множество [[Смежные классы\|смежных классов]] <tex>G</tex> по <tex>H</tex>. Определим в <tex>G/H</tex> групповую операцию по следующему правилу.

← Предыдущая		Версия 05:47, 1 сентября 2022
Строка 1:		Строка 1:
		+	{\| class="wikitable" align="center" style="color: red; background-color: black; font-size: 56px; width: 800px;"
		+	\|+
		+	\|-align="center"
		+	\|'''НЕТ ВОЙНЕ'''
		+	\|-style="font-size: 16px;"
		+	\|
		+	24 февраля 2022 года российское руководство во главе с Владимиром Путиным развязало агрессивную войну против Украины. В глазах всего мира это военное преступление совершено от лица всей страны, всех россиян.
		+
		+	Будучи гражданами Российской Федерации, мы против своей воли оказались ответственными за нарушение международного права, военное вторжение и массовую гибель людей. Чудовищность совершенного преступления не оставляет возможности промолчать или ограничиться пассивным несогласием.
		+
		+	Мы убеждены в абсолютной ценности человеческой жизни, в незыблемости прав и свобод личности. Режим Путина — угроза этим ценностям. Наша задача — обьединить все силы для сопротивления ей.
		+
		+	Эту войну начали не россияне, а обезумевший диктатор. И наш гражданский долг — сделать всё, чтобы её остановить.
		+
		+	''Антивоенный комитет России''
		+	\|-style="font-size: 16px;"
		+	\|Распространяйте правду о текущих событиях, оберегайте от пропаганды своих друзей и близких. Изменение общественного восприятия войны - ключ к её завершению.
		+	\|-style="font-size: 16px;"
		+	\|[https://meduza.io/ meduza.io], [https://www.youtube.com/c/popularpolitics/videos Популярная политика], [https://novayagazeta.ru/ Новая газета], [https://zona.media/ zona.media], [https://www.youtube.com/c/MackNack/videos Майкл Наки].
		+	\|}
		+
	== Факторгруппа ==		== Факторгруппа ==
	Рассмотрим [[группа\|группу]] <tex>G</tex> и ее [[нормальная подгруппа\|нормальную подгруппу]] <tex>H</tex>. Пусть <tex>G/H</tex> {{---}} множество [[Смежные классы\|смежных классов]] <tex>G</tex> по <tex>H</tex>. Определим в <tex>G/H</tex> групповую операцию по следующему правилу.		Рассмотрим [[группа\|группу]] <tex>G</tex> и ее [[нормальная подгруппа\|нормальную подгруппу]] <tex>H</tex>. Пусть <tex>G/H</tex> {{---}} множество [[Смежные классы\|смежных классов]] <tex>G</tex> по <tex>H</tex>. Определим в <tex>G/H</tex> групповую операцию по следующему правилу.

@@ Строка 1: / Строка 1: @@
 == Факторгруппа ==
 Рассмотрим [[группа|группу]] <tex>G</tex> и ее [[нормальная подгруппа|нормальную подгруппу]] <tex>H</tex>. Пусть <tex>G/H</tex> {{---}} множество [[Смежные классы|смежных классов]] <tex>G</tex> по <tex>H</tex>. Определим в <tex>G/H</tex> групповую операцию по следующему правилу.
@@ Строка 30: / Строка 25: @@
 {{Утверждение
 |statement= В группе перестановок из трех элементов <tex>G</tex> и ее '''не нормальной''' подгруппе <tex>H</tex> перестановок из двух элементов не затрагивающих третий элемент, <tex>G/H</tex> не будет являться группой.
 |proof=
 Рассмотрим группу <tex>S_3</tex>(перестановки трех элементов) и ее не нормальную подгруппу <tex>S'_2</tex>(перестановки не затрагивающие третий элемент). Рассмотрим множество перестановок <tex>S_3/S'_2</tex>:

@@ Строка 29: / Строка 29: @@
 {{Утверждение
-|statement= В группе перестановок из трех элементов <tex>G</tex> и ее '''не нормальной''' <tex>H</tex>подгруппе перестановок из двух элементов не затрагивающих третий элемент, <tex>G/H</tex> не будет являться группой.
+|statement= В группе перестановок из трех элементов <tex>G</tex> и ее '''не нормальной''' подгруппе <tex>H</tex> перестановок из двух элементов не затрагивающих третий элемент, <tex>G/H</tex> не будет являться группой.
 Определение произведения смежных классов корректно. То есть произведение смежных классов не зависит от выбранных представителей <tex>a</tex> и <tex>b</tex>.
 |proof=

@@ Строка 1: / Строка 1: @@
 {{Требует доработки
-|item1=Требуется еще несколько примеров факторгрупп.
+|item1=(исправлено)Требуется несколько примеров факторгрупп.
 |item2=(исправлено)Требуется пример группы <tex>G</tex> и ее подгруппы <tex>H</tex> (не нормальной), для которых <tex>G/H</tex> не является группой.
 }}

@@ Строка 32: / Строка 32: @@
 Определение произведения смежных классов корректно. То есть произведение смежных классов не зависит от выбранных представителей <tex>a</tex> и <tex>b</tex>.
 |proof=
-Рассмотрим группу <tex>S_3</tex>(перестановки трех элементов) и ее '''не нормальную''' подгруппу <tex>S'_2</tex>(перестановки не затрагивающие третий элемент). Рассмотрим множество перестановок <tex>S_3/S'_2</tex>:
+Рассмотрим группу <tex>S_3</tex>(перестановки трех элементов) и ее не нормальную подгруппу <tex>S'_2</tex>(перестановки не затрагивающие третий элемент). Рассмотрим множество перестановок <tex>S_3/S'_2</tex>:
 класс <tex>E(abc \rightarrow abc</tex> и <tex>abc \rightarrow bac)</tex>,
-класс <tex>А(abc \rightarrow acb</tex> и <tex>abc \rightarrow bca)</tex>,
+класс <tex>A(abc \rightarrow acb</tex> и <tex>abc \rightarrow bca)</tex>,
 класс <tex>B(abc \rightarrow сab</tex> и <tex>abc \rightarrow cba)</tex>.

← Предыдущая		Версия 19:11, 3 августа 2010
Строка 28:		Строка 28:
	* Рассмотрим группу невырожденных матриц <tex> GL_n</tex>. Отображение <tex>A \rightarrow \det A</tex> является гомоморфизмом <tex>GL_n \rightarrow \mathbb{R}</tex>. Ядро — группа матриц с единичным определителем <tex>SL_n</tex>. Поэтому <tex>SL_n</tex> является нормальной подгруппой в <tex>GL_n</tex> и факторгруппа <tex>GL_n/SL_n=\mathbb{R}</tex>.		* Рассмотрим группу невырожденных матриц <tex> GL_n</tex>. Отображение <tex>A \rightarrow \det A</tex> является гомоморфизмом <tex>GL_n \rightarrow \mathbb{R}</tex>. Ядро — группа матриц с единичным определителем <tex>SL_n</tex>. Поэтому <tex>SL_n</tex> является нормальной подгруппой в <tex>GL_n</tex> и факторгруппа <tex>GL_n/SL_n=\mathbb{R}</tex>.

−	* Подгруппа ортогональных матриц <tex>O_n\subset GL_n</tex> не является нормальной. Рассмотрим любую матрицу <tex>A \in GL_n,\, U \in O_n</tex> и проверим ортогональность матрицы <tex> AUA^{-1} </tex>: <tex> (AUA^{-1})^T(AUA^{-1})=(A^{-1})^TU^TA^TAUA^{-1}\neq E</tex>. То есть <tex>AO_nA^{-1}\neq O_n</tex>, что и означает, что <tex>O_n</tex> не является нормальной подгруппой <tex>GL_n</tex>.

	[[Категория: Теория групп]]		[[Категория: Теория групп]]

@@ Строка 27: / Строка 27: @@
 * Рассмотрим <tex>G=\mathbb{Z}</tex> и её нормальную подгруппу <tex>H=n\mathbb{Z}</tex>, тогда <tex>G/H=\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}</tex> (группы вычетов по модулю <tex>n</tex>) будет являться факторгруппой G по H.
 * Рассмотрим группу невырожденных матриц <tex> GL_n</tex>. Отображение <tex>A \rightarrow \det A</tex> является гомоморфизмом <tex>GL_n \rightarrow \mathbb{R}</tex>. Ядро — группа матриц с единичным определителем <tex>SL_n</tex>. Поэтому <tex>SL_n</tex> является нормальной подгруппой в <tex>GL_n</tex> и факторгруппа <tex>GL_n/SL_n=\mathbb{R}</tex>.
 * Подгруппа ортогональных матриц <tex>O_n\subset GL_n</tex> не является нормальной. Рассмотрим любую матрицу <tex>A \in GL_n,\, U \in O_n</tex> и проверим ортогональность матрицы <tex> AUA^{-1} </tex>: <tex> (AUA^{-1})^T(AUA^{-1})=(A^{-1})^TU^TA^TAUA^{-1}\neq E</tex>. То есть <tex>AO_nA^{-1}\neq O_n</tex>, что и означает, что <tex>O_n</tex> не является нормальной подгруппой <tex>GL_n</tex>.
 [[Категория: Теория групп]]